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Limite en un point (pour une fonction réelle d’une variable réelle)
Dans tout ce chapitre, D désigne une partie non vide de R.
Généralités
Définition
Soit , soit .
Soit .
On dit que f tend vers l en a - ou que tend vers l lorsque x tend vers a – et on note - ou – lorsque .
Variantes de définition dans des cas particuliers :
Si :
.
Démonstration :
supposons que .
Soit ; on note .
Alors W est un voisinage de l. Il existe donc tel que .
Mais V contient une boule ouverte de centre a.
Il existe donc tel que .
Donc . D’où la première implication.
supposons que .
Soit . Soit alors tel que .
Il existe donc tel que .
On pose .
Alors , et on a .
Si :
(même démonstration, en utilisant des voisinages de )
Si :
Si :
Cas particulier : .
Soit , :
Dans le cas ,
Le cas est sans intérêt…
Théorème (unicité de la limite éventuelle)
Théorème :
Soit , soit , soient .
Si et , alors .
Démonstration :
Supposons .
Il existe donc et tels que .
Alors :
D’une part, il existe tel que .
D’autre part, il existe tel que .
Alors .
Contradiction car . En effet :
, car .
De plus, , puisque .
Donc en particulier .
D’où l’unicité de la limite.
Notation :
Si , on note
Et si , on note .
Remarque
Si , et si , alors .
En effet, tout voisinage de l rencontre , puisque si , on peut trouver tel que , et comme , pour , on a bien .
Continuité en un point
Théorème :
Soit , et soit .
Si f admet une limite en a, alors cette limite est
Démonstration :
Supposons que , avec .
On peut alors trouver tel que .
Or, il existe tel que (car et ), ce qui est contradictoire, car . Donc .
On dit alors que f est continue en a.
Exemples
Fonction constante
Soit . Soit .
Alors ,
Démonstration :
Soit , prenons .
Alors et on a bien .
Identité
Soit . Alors , .
Démonstration :
Soit . Prenons alors .
Alors et .
Théorème de « composition » de limites
Théorème
Soit , où E est une partie de R telle que .
Soit ,
Si f tend vers b en a et si g tend vers l en b, alors tend vers l en a.
Démonstration :
Déjà, si , alors , donc .
Montrons que . Soit .
Comme , il existe tel que .
Comme , il existe tel que .
Alors :
Si , alors . De plus, .
Donc . Donc .
Donc .
Cas particulier (suites)
Soient , ,
Si , et si , alors .
Réciproque
Soit , , .
Si, pour toute suite qui tend vers a, tend vers l, alors f tend vers l en a.
Démonstration :
Montrons la contraposée :
Supposons que ,
C'est-à-dire que
Ou :
Soit W un tel voisinage.
Pour chaque , posons :
Alors
Il existe donc, pour tout , tel que
Donc , tend vers a et ne tend pas vers l.
En effet :
par construction.
Si
Si
Si
Ainsi, dans les trois cas,
Donc ne tend pas vers l. On a donc trouvé une suite qui tend vers a et telle que ne tende pas vers l, d’où la démonstration de la contraposée.
Limite selon une partie
Généralités
Soit , soit , .
Soit X une partie non vide de D. Si , et si tend vers l en a, on dit que tend vers l quand x tend vers a selon X, et on note : .
Proposition :
Si , alors (si )
Démonstration :
Supposons que .
Soit . Il existe donc tel que . Comme , on a bien alors , soit , d’où le résultat.
Cas particulier
Lorsque :
Soient , , , .
Alors , et : .
On dit que la notion de limite est locale.
Démonstration :
: vu en A).
: supposons que .
Soit . Il existe tel que .
Si on prend , alors et .
Autre cas particulier
Soient , (Attention ! ici, )
Si a est adhérent à , et si a une limite l en a, on dit que f a une limite à droite en a, notée , ou .
On adapte pour la limite à gauche.
Si , et a est adhérent à et à , alors f a une limite en a si et seulement si f a une limita à droite et à gauche en a, égales toutes les deux à .
Si , mais est adhérent à et à , f a une limite en a si et seulement si f a une limite à droite et à gauche en a et si elles sont égales.
Remarque :
Si , la notion de et se confond.
Si , f a une limite en a si et seulement si f a une limite à droite égale à .
On fait de même pour .
Définition :
Soit , soit .
Alors f est continue à droite en a est continue en a.
f a une limite à droite en a égale à .
De même à gauche.
Autre cas particulier utile
Soit , soit adhérent à (c'est-à-dire que tout voisinage de a contient au moins un point autre que a, soit que a n’est pas un point isolé).
Si a une limite en a, on la note .
Sur le dessin :
Mais n’existe pas.
Proposition :
Si a est adhérent à , alors :
f a une limite en a existe et vaut .
Prolongement par continuité en un point
Définition :
Soit . On suppose que a est adhérent à D (dans R), mais que .
Soit . On dit que g est un prolongement par continuité de f en a lorsque :
-
- g est continue en a.
Proposition :
f admet un prolongement par continuité en a si et seulement si f admet une limite finie en a. Dans ce cas, l’unique prolongement par continuité de f en a est la fonction :
Limites et inégalités
Proposition :
Soient , .
Si f a une limite finie en a, alors f est bornée au voisinage de a.
Si f tend vers en a, alors f est non(majorée au voisinage de a).
Si f tend vers en a, alors f est non(minorée au voisinage de a).
(Rappel : f a la propriété P au voisinage de a s’il existe un voisinage U de a tel que ait la propriété P)
En effet :
Si existe, vaut alors, selon la définition de limite, il existe tel que . Donc f est bornée sur .
Si . Montrons que n’est pas majorée.
Soit . Supposons qu’il existe tel que .
Mais, selon la définition de limite, il existe tel que ,
ce qui est contradictoire, puisque n’est pas vide (car a est adhérent à D, donc tout voisinage de a rencontre D, et de plus U et V sont des voisinages de a)
Adapter si .
Proposition :
Soient , .
Si f tend vers en a, alors au voisinage de a.
Si f tend vers en a, alors au voisinage de a.
Démonstration :
Dans le premier cas, et
On pose (ainsi, ).
Il existe alors tel que .
Donc , soit .
Si : il suffit de prendre , et on aura le même résultat.
On fait de la même façon dans le deuxième cas.
Proposition :
Soient , . Soit .
Si et si f et g on des limites en a, alors .
On peut se contenter d’un voisinage de a pour la propriété .
Démonstrations :
Notons et , supposons que .
Cas où .
Prenons tel que
Il existe alors tel que
Et tel que .
Alors , et pour , , ce qui est contradictoire.
Autre démonstration :
Soit une suite de points de D qui tend vers a.
(Il en existe puisque ).
On a alors, pour tout , .
Mais, comme f a une limite en a, on sait que ,
Et, comme g a une limite en a, .
Donc, selon le théorème de passage à la limite pour les suites, .
Théorème « des gendarmes » :
Soient , soit .
On suppose que .
Si f et h admettent une même limite l en a, alors g tend aussi vers l en a.
Démonstration :
Soit qui tend vers a.
Alors, selon le théorème de composition de limite, et .
Or, .
Donc tend vers l en a, d’après le théorème des gendarmes pour les suites.
C’est valable pour toute suite qui tend vers a, donc g tend vers l en a.
Limites et opérations sur les fonctions
Cas des limites finies
Proposition :
Soient , , .
Si , alors
Démonstration :
Soit qui tend vers a. Alors , .
Donc par théorème de composition de limites pour les suites, , c'est-à-dire .
Ce résultat est valable pour toute suite qui tend vers a. Donc .
On procède de même avec .
Proposition :
Soit , .
Si , alors , et, si , est définie au voisinage de a et
Démonstration :
Utiliser les suites comme précédemment (pour dire que est défini au voisinage de a lorsque , il suffit d’utiliser la deuxième proposition vue en IV)
Remarque :
Soit , .
Soit .
On a les équivalences :
Démonstration :
En particulier,
Proposition :
Soient , .
Si , et si g est bornée au voisinage de a, alors
Cas où certaines limites sont infinies
Soient , .
Si , alors, pour tout :
Si , et si g est minorée, alors
Si , et si g est minorée par , alors
Si , alors est définie au voisinage de a et
Si , et si au voisinage de a (c'est-à-dire ), alors .
Les indéterminations
Ce sont les cas où le cours ne permet pas de conclure, car il y a différentes possibilités.
Exemples :
, , , , pas de limite.
Exemples :
, , , pas de limite en .
si , :
On s’intéresse à
Mais
On est ainsi ramené à une indétermination du type
Si et
Et
Limites et fonctions usuelles
On a vu que et sont continues en tout point de R. Donc toute fonction polynomiale est continue sur R. Il en est de même des fractions rationnelles (sur leur domaine de définition).
La fonction est continue sur R.
En effet,
Donc
Donc est 1-lipschitzienne sur R, donc continue.
Montrons que si une fonction est lipschitzienne, alors f est continue sur D.
Soit tel que .
Soit . Alors
Donc . Donc f est continue en a, donc en tout point de D.
Donc, par composition, la fonction est continue.
.
Donc la fonction est continue sur son domaine de définition.
sont continues sur leur domaine de définition.
Soit .
La fonction est définie et continue sur .
De plus, si , la fonction est prolongeable par continuité en 0 par 0.
, où sont définies et continues sur
Les fonctions pour sont définies et continues sur .
Remarque technique : « le retour à 0 »
Pour la limite :
Soit , .
Soit .
Pour la variable :
Soit , .
Soit .
Démonstration :
: supposons que .
Alors , et .
Donc, par composition,
: supposons que .
Alors et .
Donc, par composition, , soit .
Exemple :
Etude de l’éventuelle limite en 3 de
Domaine de définition :
Donc
Pour et suffisamment proche de 0, on a :
Donc , d’où la limite en 3…
Le théorème de la limite monotone pour les fonctions
Théorème :
Soient , avec
Soit , monotone. Alors f a une limite dans en a et en b.
Plus précisément :
Si f est croissante :
Si f est majorée, elle a une limite réelle en b (qui est )
Sinon,
Si f est minorée, elle a une limite réelle en a (qui est )
Sinon,
Si f est décroissante : à adapter.
Démonstration :
Cas où f est croissante, étude en b :
Si f est majorée, on peut introduire .
Montrons qu’alors
Soit . ne majore pas f. Il existe donc tel que . Comme f est croissante, on a : .
Or, est l’intersection d’un voisinage de b et de .
Il existe donc tel que , d’où la limite.
Si f n’est pas majorée :
Montrons que
Soit . A ne majore pas f. il existe donc tel que
Comme f est croissante, on a : .
Or, est l’intersection d’un voisinage de b et de .
Il existe donc tel que
Pour l’étude en a :
On peut refaire la démonstration, ou considérer , qui est croissante
Cas où f est décroissante :
Démonstration analogue, ou considérer la fonction , qui est croissante.
Théorème :
Soit I un intervalle infini (c'est-à-dire ni vide ni un singleton) de R, soit , monotone. Alors, en tout point , f admet une limite finie à droite et une limite finie à gauche, avec de plus :
si f est croissante,
si f est décroissante.
De plus, si a et b désignent les extrémités (dans ) de I avec , alors :
Si , f a une limite finie à gauche en b et si f est croissante,
si f est décroissante.
Si , f a une limite (à gauche) en b dans .
De même en a (à droite)
Démonstration :
Soit . On peut trouver tels que (car )
On applique le théorème de la limite monotone à , qui est monotone et minorée/majorée par (si f est décroissante/croissante)
Donc existe, et est supérieur/inférieur à .
De même, on applique le théorème pour , monotone et majorée/minorée par (si f est décroissante/croissante)
Donc existe et est inférieur/supérieur à .
Pour les extrémités :
Si on applique le théorème à , croissante/décroissante, majorée/minorée par . Sinon, on applique le théorème à , croissante/décroissante.
De même en a.
