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Fonctions convexes.docx

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Contributor: alpsi
Category: Precalculus
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Fonctions convexes Notations : P désigne le plan muni d’un repère I est un intervalle (infini) de R. f est une fonction de I dans R, et C est sa courbe représentative dans le repère . Préliminaire : Soient a, b deux réels Le segment d’extrémités a et b est exactement l’ensemble des réels qui s’écrivent avec et , ou encore, ce qui revient bien sûr au même, l’ensemble des réels qui s’écrivent avec . En effet : Si , c’est évident. Sinon, vu les rôles symétriques, on peut supposer . Tout réel x s’écrit (avec ). Or, pour tout , on a les équivalences : Il en résulte que l’on a bien, pour tout  : Géométriquement, cela signifie que le segment d’extrémités a et b est l’ensemble des barycentres de a et b affectés de coefficients positifs. Soit une fonction affine sur I (c'est-à-dire du type avec ). Alors pour tous a et b de I, pour tous de R tels que  : Géométriquement, cela signifie que l’image des barycentres de deux points par une fonction affine est le barycentre des images de ces deux points, affectés des mêmes coefficients. Sur cet exemple : , avec (c'est-à-dire ). Alors (c'est-à-dire ) (On voit ici qu’il ne s’agit de rien d’autre que du théorème de Thalès : ) Fonctions convexes Définition Soit . On dit que f est convexe (sur I) lorsque : Pour tous a, b de I, pour tous de tels que  : Notons que vu les remarques suivantes : a et b jouent des rôles symétriques dans (1) L’inégalité est évidemment toujours vraie si (et ) Les couples tels que sont exactement les avec On peut déduire toute une série de variantes de la condition (1), évidemment équivalentes à (1), par exemple : (1 bis) Pour tous a, b de I avec , pour tout tel que  : (1 ter) Pour tous a, b de I, pour tout  : (1 quadro) Pour tous a, b de I avec , pour tout  : Exemples : * est convexe (sur R). En effet, pour tous a, b de I et pour tout , on a les équivalences : * les fonctions affines sont convexes (et même mieux selon le préliminaire) Interprétation graphique On voit ici l’arc de la courbe C situé entre deux points A, B de C, et la corde correspondante. Ce graphique illustre la proposition : Soit . Alors f est convexe si et seulement si : Tout arc de la courbe C est sous la corde correspondante. Démonstration : La traduction rigoureuse de la condition (2) va nous montrer que . En effet : Pour chaque (avec ), notons la fonction affine qui coïncide avec f en a et en b, c'est-à-dire telle que : et . Alors la condition (2) équivaut à : Pour tous a, b de I avec , pour tout  : ( est le z du dessin) Mais, d’après le préliminaire, est l’ensemble des où . Donc (2) s’écrit aussi : Pour tous a, b de I avec , pour tout  : . Mais, toujours d’après le préliminaire, comme est affine : Donc (2) est devenue : Pour tous a, b de I avec , pour tout  : On reconnaît (1 quadro) Propriété de « croissance des pentes » Théorème : Soit convexe. Alors, pour tous a, b, c de I avec  : Illustration (à retenir) : Démonstration : En reprenant les notations de la démonstration du B) : la droite (AB) a pour équation . Alors : . Or, , d’où la première inégalité. De même, Or, , d’où la deuxième inégalité. Conséquence : théorème : Soit , convexe. Alors pour tout , l’application est croissante sur . (Autrement dit, il y a croissance des pentes des cordes dont on fixe une extrémité) est la pente de la corde . En effet : Si sont deux éléments de tels que , on a toujours : car : Si , c’est la première inégalité du théorème précédent avec Si , c’est l’inégalité obtenue par transitivité de dans le théorème précédent avec Si , c’est la deuxième inégalité du théorème précédent avec Fonctions convexes dérivables Théorème : Soit , dérivable. Alors f est convexe si et seulement si est croissante. Corollaire : Soit , deux fois dérivable. Alors f est convexe si et seulement si est positive. Démonstration du théorème : Soit , dérivable. Supposons croissante. Soient avec et soit encore la fonction affine qui coïncide avec f en a et en b. (ainsi, pour tout ) Pour , on pose . Alors est dérivable sur , et, pour tout  : Or, selon le théorème des accroissements finis, il existe tel que . Ainsi, Et comme est supposée croissante, on en tire le tableau de variations : D’où il résulte que . On a donc prouvé que : Pour tous avec , pour tout , . Donc f est convexe (tout arc est sous la corde correspondante). Réciproquement, supposons f convexe. Soient alors , avec . * Alors, selon le théorème de croissance des pentes : Et le passage à la limite lorsque x tend vers est possible, car f est dérivable, et donne : * Le théorème de croissance des pentes donne aussi : Et le passage à la limite lorsque x tend vers donne : On a donc Ce qui prouve la croissance de . Remarque : on a montré au passage un résultat intéressant : Si est convexe et dérivable, alors, pour tous tels que  : Illustration : Théorème : Soit convexe et dérivable. Alors la courbe C de f est au dessus de ses tangentes, c'est-à-dire : . Démonstration : Soit convexe et dérivable, et soit Pour , posons Alors est dérivable sur I et : Or, est croissante sur I, on obtient donc le tableau de variations : Ce qui prouve que D’où Inégalité de convexité Théorème : Soit convexe. Alors, pour tout , pour tous et pour tous réels positifs et de somme 1 : Démonstration : Par récurrence sur n (P(n) étant ce qui suit, dans l’énoncé du théorème, le « pour tout  ») * P(1) est vrai : trivial, tel que , . * P(2) est vrai : c’est la définition de la convexité. * Soit . Supposons P(n). Soient alors et tels que - Si , c’est que et , et on a bien l’inégalité voulue - Sinon, on pose . On peut écrire : et S et sont positifs, de somme 1. Donc, par définition de la convexité : Or, si on pose pour chaque , les sont positifs et de somme 1, donc, par hypothèse de récurrence : D’où finalement : Ce qui achève la récurrence. Cas particulier important (obtenu en prenant tout les égaux à ) : Soit convexe. Alors pour tout , pour tout , on a : Exemples Définition Soit . On dit que f est concave lorsque –f est convexe. Ainsi, toutes les propriétés des fonctions convexes s’appliquent immédiatement aux fonctions concaves, en retournant les inégalités. Les fonctions classiques Tout les résultats suivant se justifient en considérant la dérivée seconde, et seront dorénavant supposés connus (d’ailleurs, on les voit sur les graphes de ces fonctions, supposées connus aussi) exp est convexe sur R. ln est concave sur sin est concave sur (et convexe sur ) cos est concave sur (et convexe sur ) tan est convexe sur (et concave sur ) fonctions puissance : Si , est sur , de dérivée seconde Donc est Rappel des graphes : Cas particulier des exposants entiers : Si , est sur , de dérivée seconde . Donc est Si , est sur R, de dérivée seconde . Donc est Exemple d’application Comparaison des moyennes arithmétique, géométrique, harmonique, quadratique. Soient . On pose :  ;  ; Alors En effet : car est convexe sur , d’où car ln est concave sur , d’où car c’est l’inégalité appliquée aux , d’où (Remarque : les inégalités ne sont pas faciles à démontrer de façon élémentaire…)

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