Transcript
Fonctions continues
I désigne ici un intervalle infini de R (c'est-à-dire ni vide ni réduit à un singleton)
D désigne une partie non vide de R.
Généralités
Rappel de définition
Soit
Soit .
On dit que f est continue (sur D) lorsque f est continue en tout point de D, c'est-à-dire :
Opération sur les fonctions continues
Restriction
Définition, proposition :
Soit , soit non vide.
On dit que f est continue sur lorsque est continue.
Si f est continue sur D, alors elle est continue sur .
En effet :
f est continue (sur D)
f est continue en tout point de
f est continue sur
Il est alors évident logiquement que mais que les réciproques sont fausses en général.
Sur l’exemple :
f n’est pas continue sur le segment
f n’est pas continue en tout point de (puisqu’elle ne l’est pas en 1)
est continue : f est continue sur
Remarque :
f continue sur A et f continue sur B f est continue sur
Pour éviter toute ambiguïté de langage, ne pas dire f est continue sur , mais plutôt est continue.
Remarque :
Si f est continue sur et sur (), alors f est continue sur (si f est définie seulement sur ).
En effet :
Si , alors f est continue en , car est un voisinage de intercepté par le domaine de définition, et f restreinte à ce voisinage de tend vers en . Donc f tend vers en .
En b : f est continue à droite et à gauche, donc f est continue en b.
Pour , on fait la même chose que le premier point.
Sommes, produits…
Théorème :
La somme de deux fonctions continues est continue.
Le produit d’une fonction continue par un réel est continu.
Le produit de deux fonctions continues est continu.
L’inverse, lorsqu’il est défini, d’une fonction continue est continu.
Démonstration (pour le quatrième) :
Soit , continue. On suppose que est définie (c'est-à-dire que f ne s’annule pas). Soit . Alors . Comme , on a bien . Ceci est vrai pour tout , d’où la continuité de sur D.
On fait la même chose pour les autres parties du théorème.
Composition
Théorème :
La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une fonction continue.
Démonstration :
Soient , , continues.
On suppose que , ainsi est définie sur D.
Soit . Alors , et , car et g est continue en . Donc .
Autres…
Si f est continue sur D, alors est continue sur D. De plus, et sont continues sur D.
Démonstration :
Pour : C’est la composée de fonctions continues.
Pour : , donc est la somme, produit par un réel et composition de fonctions continues, donc est continue.
Pour : , idem que pour .
Fonctions usuelles
Les fonctions polynomiales, rationnelles, du type , cosinus, sinus, tangente, exponentielle, logarithme, valeurs absolues sont continues sur leur domaine de définition. (vu chapitre précédent)
Notation
Soit I un intervalle. L’ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans R est noté . Un élément de est dit de classe sur I (lire « C zéro »).
Le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.)
Théorème 1 :
Soit , une fonction continue.
Soit d une valeur intermédiaire entre et (c'est-à-dire que ou . Alors il existe tel que .
Théorème 2 (variante) :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Démonstration :
Montrons déjà l’équivalence entre les deux théorèmes :
Supposons 1 établi :
Soit I un intervalle de R, et f continue sur I. Montrons que est in intervalle.
Soient . Montrons que tout réel d entre et est dans .
s’écrit , avec
s’écrit , avec .
Soit d entre et
On peut supposer (sinon on échange et ).
et . Donc car I est un intervalle.
f est continue sur I, donc f est continue sur .
Donc d s’écrit , où (puisqu’on a supposé 1 établi).
Donc .
Donc tout réel entre deux éléments de est élément de .
Donc est un intervalle (de R).
Supposons 2 établi.
Soit , continue. Alors est un intervalle (puisque en est un). Donc tout réel qui est entre deux réels de est aussi dans , c'est-à-dire que tout réel s’écrit , où .
Démonstration du théorème 1 :
Soient , tels que . Soit , continue.
Soit d entre et .
Si , alors .
Donc .
On note alors .
Alors g est continue sur , et .
On s’est donc ramené à montrer l’existence de tel que
Si , on notera , et on aura la même chose à montrer.
Maintenant :
On construit par dichotomie deux suites et telles que :
- et
- pour tout :
Si , on pose et ,
Et sinon , .
Alors, du fait de la construction dichotomique des deux suites :
Et de plus, une récurrence immédiate montre que et .
Soit .
Les suites et sont donc adjacentes. Elle convergent vers une même limite c.
Le passage à la limite dans (1) donne : , soit que .
Le passage à la limite dans (4), sachant que g est continue (en c en particulier), donne , soit , d’où l’existence du réel cherché, et le théorème.
Remarques :
Le théorème est faux en général quand f n’est pas continue :
Le théorème des valeurs intermédiaires donne l’existence d’un réel c… mais pas l’unicité, qui est fausse en générale (il suffit de prendre une fonction non monotone pour trouver des contre-exemples).
Il y a des fonctions non continues sur un intervalle I telles que toute valeur entre deux valeurs atteintes soit une valeur atteinte :
Le théorème des valeurs intermédiaires n’est donc pas caractéristique des fonctions continues (c'est-à-dire qu’une fonction vérifiant le théorème n’est pas nécessairement continue).
Image d’un segment
Théorème :
L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Démonstration :
Soit , avec une fonction continue. Montrons que est un segment.
Déjà, J est un intervalle, puisque en est un.
Montrons maintenant que J est fermé et borné.
Soient ses extrémités. On doit alors montrer que (ce qui montrera à la fois le fait que J est fermé et borné)
Montrons le pour (le raisonnement est le même pour )
Déjà,
Donc est la limite d’une suite d’éléments de J.
Pour chaque , on introduit tel que . La suite est bornée. On en extrait alors une suite qui converge.
Soit . Alors (car ).
Alors , d’une part tend vers , d’autre part tend vers car , et f est continue.
Donc . Donc .
De même, .
Donc J est un segment.
Remarque (hors programme) :
On peut plus généralement établir que l’image d’une partie fermée et bornée de R par une fonction continue est une partie fermée et bornée (de R).
Vocabulaire : une partie fermée et bornée est un compact.
Conséquence du théorème :
Si f est une fonction continue sur un segment , alors f est bornée sur ce segment et atteint ses bornes.
Attention, pour une fonction continue :
l’image d’un intervalle borné n’est pas toujours un intervalle borné :
Pour sur , on a .
L’image d’un intervalle fermé n’est pas toujours un intervalle fermé :
Pour sur , on a
L’image d’un ouvert n’est pas toujours un ouvert :
Pour sur R (ouvert), on a
Ou pour sur , on a
L’image d’un non borné n’est pas toujours non borné (on reprend )
L’image d’un non intervalle n’est pas toujours un non intervalle :
Encore sur
Fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle
Le théorème
Théorème 1 :
Soit f une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle I.
Alors :
f constitue/réalise une bijection de I sur un certain intervalle J.
L’intervalle J est l’intervalle délimité de la manière suivante :
Notons a, b avec les extrémités dans de I.
Les extrémités de J dans sont tels que :
Si , et
Sinon, et
De même pour
La bijection réciproque est continue et strictement croissante sur J
Théorème 2 :
Même théorème que le 1 pour f strictement décroissante (changer par , par et croissante par décroissante)
Démonstration :
Déjà, f est strictement croissante donc injective.
Donc l’application est bijective (puisqu’elle est déjà injective, et on a restreint l’ensemble d’arrivée à l’image)
Et selon le théorème des valeurs intermédiaires, est un intervalle, d’où le premier point du théorème.
Si , alors . Donc est un minorant de , soit le minimum puisque . Donc et
Si :
- Si J n’est pas minorée, alors . Mais dans ce cas, f n’est pas minorée, donc (puisque f est strictement croissante)
- Si J est minorée, alors . Mais dans ce cas, f est minorée et n’est autre que (d’après le théorème de la limite monotone). De plus, car sinon on trouverait tel que (par définition de J), et on aurait alors , d’où (car si on trouve tel que on aurait puisque f est strictement croissante). Ainsi, I admettrait un minimum (), ce qui contredirait la définition de a.
On fait la même chose pour b.
est strictement croissante. En effet :
Soient tels que .
Alors , car sinon , et comme f est croissante, soit ce qui est impossible.
Montrons que est continue sur J.
Soit . Montrons que est continue en , c'est-à-dire que existe et vaut , soit que .
Soit .
1er cas : . Donc , donc contient un segment avec . On pose et . On a alors :
, soit . Ainsi, est un voisinage de , contenu dans J car . Alors, en posant , on a : .
En effet : . Donc pour u tel que , on a (car est croissante). Donc . D’où la continuité, puisque le résultat est valable en tout .
2ème cas : si est une extrémité de I, par exemple . Alors contient un segment avec . Posons . Alors , c'est-à-dire . Par conséquent, est un voisinage de .
Alors . En effet :
Pour , on a , donc (car est croissante) et car et . Donc , donc est continue en .
On a la même chose si est un autre type d’extrémité de I.
Donc est continue sur J.
La démonstration du théorème 2 est analogue, ou alors :
Partant de f continue et strictement croissante, appliquer le théorème 1 à –f continue et strictement croissante.
Donc –f réalise une bijection de I sur un intervalle J
Donc f réalise une bijection de I sur –J (c'est-à-dire , d’où (1) puis (2).
n’est autre que l’application , d’où (3). En effet :
Pour , , on a les équivalences :
.
On utilise généralement ce théorème uniquement avec (1) et (2).
Exemple de rédaction :
Soit . Montrer que l’équation a exactement deux solutions sur .
car .
f est continue et strictement décroissante sur et . Donc f réalise une bijection de sur . Comme , , donc a un unique antécédent dans par f, c'est-à-dire qu’il existe un unique tel que .
De même, f étant continue et strictement croissante sur , il existe un unique tel que .
Comme , et , soit .
Donc l’équation admet deux solutions.
Variante :
On montre l’existence d’une valeur avec le théorème des valeurs intermédiaires, puis l’unicité avec la stricte monotonie.
Continuité uniforme
Définition
Soit D une partie de R. Soit . On dit que f est uniformément continue sur D lorsque
Proposition :
Soit . Si f est uniformément continue sur D, alors f est continue sur D.
Démonstration :
Rappel des définitions :
f est uniformément continue sur D
f est continue sur D
alors est logiquement évident :
Supposons (1) :
Soient
Selon (1), on peut trouver tel que :
.
En particulier, avec (et en remplaçant la variable muette par ) :
Donc .
La réciproque est fausse. Exemple :
n’est pas uniformément continue sur , mais elle est continue.
Montrons alors qu’il existe tel que :
Prenons
Soit . Soit tel que
On prend alors ,
On a alors , mais
(on aurait même pu prendre )
Proposition :
Si f est lipschitzienne sur D, alors f est uniformément continue sur D.
Démonstration :
Soit f lipschitzienne sur D.
Soit tel que
Soit , posons .
Alors si ,, c'est-à-dire .
La réciproque est aussi fausse :
n’est pas lipschitzienne sur , mais elle y est uniformément continue.
Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment y est uniformément continue.
Démonstration :
Soit un segment de R, avec .
Soit , continue.
Montrons que .
Supposons que c’est faux, c'est-à-dire qu’il existe tel que .
Pour chaque , on peut donc introduire tels que et .
Donc est une suite bornée d’éléments de K. D’après le théorème de Bolzano–Weierstrass, on peut donc en extraire une suite qui converge vers .
Or, pour tout , , donc par passage à la limite, , c'est-à-dire que .
De plus, la suite , extraite de , converge vers 0 puisque converge vers 0.
Donc tend aussi vers l en .
Or, f est continue en l, donc et .
Donc .
Contradiction car pour tout ,
soit .
Donc f est uniformément continue sur .
Exemples de réciproque d’une bijection d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Notions sur les constructions de la fonction exponentielle
Soit .
Soit . On établit alors aisément que :
Si n est impair, réalise une bijection continue et strictement croissante de R dans R.
Si n est pair, réalise une bijection continue et strictement croissante de dans .
Pour n impair, la fonction réciproque de est définie sur R, continue et strictement croissante. Pour tout , l’unique tel que est noté
Pour n pair, la fonction réciproque est définie sur , continue et strictement croissante. Pour tout , l’unique tel que est aussi noté .
On vérifie aisément que pour tout , , et :
. Ainsi, ne dépend que de . On peut donc le noter .
Attention : n’a de sens que pour . Par exemple :
On ne peut donc pas les noter ou
On a ainsi défini pour tous et .
On vérifie aisément que, pour tous , :
Et que, pour tout , est continue et strictement croissante sur .
pour tout , est continue et strictement décroissante sur .
(pour , est constante égale à 1)
On admet que :
Pour tout , pour tout et toute suite qui converge vers , la suite converge vers un réel qui ne dépend que de et pas de la suite .
On note alors (définition qui reste vraie si )
On admet que la fonction est continue sur , strictement croissante si , strictement décroissante si .
On montre aussi que, pour tous , :
On montre aussi que pour , et
Soit . On s’intéresse à , définie sur R.
On montre que est continue sur R, strictement croissante si , constante si , strictement décroissante si
On a vu que la suite de terme général converge, vers un réel et aussi que .
On admet de plus que . La fonction est appelée la fonction exponentielle, notée . Alors est strictement croissante sur R. (car ).
La fonction exponentielle réalise une bijection continue et strictement croissante de R sur . Sa réciproque, appelée logarithme népérien, est appelée .
