Transcript
Fonctions circulaires réciproques
La fonction Arcsin
Etude
Soit .
Alors f est continue et strictement croissante, de plus et .
Donc f est une bijection de dans .
Définition
est la fonction de dans qui est la réciproque de la bijection .
On a ainsi :
Ou :
est l’unique arc entre et dont le sinus est x.
Propriétés de la fonction Arcsin
Elles résultent des propriétés de la fonction sur et des théorèmes portant sur les fonctions réciproques des bijections continues et strictement monotones sur un intervalle :
-
- est continue
- est strictement croissante
- est impaire (car l’est sur )
En effet :
Soit .
Alors , et , donc est l’unique arc entre et dont le sinus est , c'est-à-dire que .
- est de classe sur , et de plus :
En effet :
Soit . Posons . Alors , et
Comme est dérivable en , et , est dérivable en x et .
Mais , et .
Donc , et de plus donc
Donc finalement .
Donc est bien dérivable sur , et sa dérivée sur est , qui est de classe sur .
Donc est bien de classe sur
- n’est pas dérivable en -1 ni en 1, mais sa courbe présente aux points d’abscisses -1 et 1 une demi tangente verticale. En effet, est dérivable sur et a une limite à gauche en 1 (respectivement à droite en -1) qui est , d’où le résultat avec le théorème liant limite de la dérivée et limite du taux d’accroissement.
- Enfin, la courbe représentative de dans un repère orthonormé se déduit de celle de restreint à par la symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice :
La courbe est elle-même un résultat de cours, elle résume l’essentiel des points précédents. Noter aussi la position de la courbe par rapport à la tangente à l’origine.
La fonction Arccos
Etude
La fonction est une bijection continue et strictement croissante.
Définition
est la fonction de dans qui est la réciproque de la bijection .
On a donc :
Ou :
est l’unique arc entre 0 et dont le cosinus est x.
Propriétés de la fonction Arccos
-
- est continue
- est strictement décroissante
- est de classe sur , et de plus :
En effet :
Soit . Posons . Alors , et
Comme est dérivable en , et , est dérivable en x et .
D’où, comme pour , est de classe sur .
- n’est pas dérivable en -1 ni en 1, mais sa courbe présente aux points d’abscisses -1 et 1 une demi tangente verticale.
- La courbe représentative de dans un repère orthonormé se déduit de celle de cosinus restreint à par la symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice :
- La fonction est paire sur R, mais n’est pas paire (car n’est pas paire sur !)
- En revanche, la courbe présente un centre de symétrie : le point de coordonnées . Cela se traduit par la formule :
Rappel :
La courbe de f présente un centre de symétrie en I est centré en et
Démonstration :
Soit .
Alors et
Donc et
Donc (car )
- On déduit la courbe de de celle de en opérant une symétrie orthogonale par rapport à , puis une translation de vecteur , ce qui se traduit par la formule : ()
Démonstration :
Soit .
Alors .
Donc , et :
Donc
Soit .
La fonction Arctan
Etude
La fonction est une bijection continue et strictement croissante.
Définition
est la fonction de R dans qui est réciproque de la bijection précédente.
On a donc :
Ou :
est l’unique arc entre et dont la tangente est x.
Propriétés de la fonction Arctan
-
- est strictement croissante sur R.
- ,
- est impaire.
- est de classe sur R, et de plus :
En effet :
Soit , notons . Alors , et . Comme est dérivable en et , est dérivable en x, et :
- Courbe représentative :
- On a :
Démonstration :
Soit . Notons
Si :
Alors . Donc , et .
Donc , c'est-à-dire .
Si , alors ,
donc , soit car est impaire, donc .
La fonction Arccotan
Arccotan est la fonction de R dans qui est la réciproque de la bijection .
Ainsi,
- est continue et strictement décroissante sur R.
- et
- est de classe sur R et
- On a :
Démonstration :
Soit . Notons
Si :
Alors . Donc , et :
.
Donc , c'est-à-dire
Si :
Alors . Donc , et :
Donc , soit
