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Cours fonctions logarithme et exponentielle
I. Fonction Logarithme
Définition :
La fonction logarithme népérien, notée ln , est la bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout x de ]0 ; +[ et tout y de , ln x = y ey = x .
Propriétés :
La fonction ln a pour ensemble de définition ]0 ; +[ ; elle vérifie :
Pour tous réels x et y strictement positifs , ln(xy) = ln x + ln y.
Pour tout réel x, ln (ex) = x.
Pour tout réel x strictement positif, eln x = x.
ln s'annule en 1 : ln 1 = 0.
Signe :
ln(x) 0 sur ]0 ; 1]
ln(x) > 0 sur ]1 ; +[
Propriétés algébriques :
Pour tous x et y de ]0 ; +[ et tout entier n :
Limites :
Dérivation :
ln est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +[ et, pour tout réel x > 0 :
ln'(x)=
ln est strictement croissante sur ]0 ; +[, donc, pour tous x et y de ]0 ; +[ :
x < y ln x < ln y
x = y ln x = ln y
si une fonction u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle I , alors ln u est dérivable sur I et , pour tout x de I :
II. Fonction exponentielle
Définition
Il existe une unique fonction f, dérivable sur , telle que f' = f et f(0) = 1.
On la nomme fonction exponentielle : elle sera notée exp.
conséquences
exp(0) = 1
exp est dérivable sur et exp'(x) = exp(x)
pour tout réel x, exp(x) > 0
la fonction exp est strictement croissante sur
Notation
On pose e = exp(1)
A l'aide de la calculatrice, e 2,718
résultat : e =
Propriétés algébriques
théorème :
Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produit.
On en déduit les propriétés suivantes :
exp(x - y) =
exp(-y) =
exp(nx) = (exp(x))n (n )
(n 1)
cas particulier :
La notation ex
Par convention, on pose exp(x) = ex pour tout réel x.
Limites
Propriétés asymptotiques
ex = +
ex = 0
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en - la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale (c'est-à-dire l'axe (Ox)).
= +
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en + une branche parabolique de direction (Oy).
Approximation affine au voisinage de 0
On a : = 1
La fonction x 1 + x est la meilleure approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0 et on écrit :
pour x proche de 0, on a : ex 1 + x
Croissance comparée
Pour tout entier naturel non nul n, on a : = + et xn ex = 0.
Remarque :
A l'infini, l'exponentielle de l'emporte sur toute puissance de .
Tableau des variations et courbe représentative
7. Dérivée de eu
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction composée expu (notée eu) est dérivable sur l'intervalle I et on a :
(eu)' = u' × eu
exemple :
La fonction x 4x² + 7x est dérivable sur .
x e4x² + 7x est dérivable sur et sa dérivée est x (8x + 7)e4x² + 7x
