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Espace Rn
Limite et continuité des fonctions d’une partie de Rp dans Rn.
Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls.
Normes sur un R-espace vectoriel
Pour ce paragraphe, E désigne un R-ev.
Norme (rappels)
Définition :
Une norme sur E, c’est une application N de E dans vérifiant :
Il résulte aisément des propriétés (1), (2), (3) que si N est une norme sur E, on a :
Notation : une norme quelconque sur E est souvent notée .
Distance associée à une norme
On suppose que E est muni d’une norme notée . Pour tous x, y de E, on pose :
.
Alors d est une distance sur E, c'est-à-dire que d est une application de dans vérifiant :
On dit que d est la distance associée à la norme .
Exemples de normes sur .
Pour chaque x de , on notera .
L’application définie sur par est une norme sur : c’est la norme naturelle.
L’application définie sur par est aussi une norme sur .
En effet, est à valeurs dans , les propriétés (1) et (2) sont évidentes, et pour le (3) :
Soient .
Pour tout , on a, d’où .
Partie bornée, fonction bornée
Soit une norme sur E.
Etant donnée une partie A de E, on dit que A est bornée pour la norme lorsqu’il existe tel que pour tout x de A, on a .
Etant donnée une fonction f à valeurs dans E et définie sur un ensemble quelconque D, on dit que f est bornée pour la norme lorsqu’il existe tel que pour tout x de D, on a , autrement dit lorsque est une partie bornée de E pour la norme .
Boules
Soit une norme sur E.
Définition :
Pour tout , et tout , on appelle boule ouverte de centre a et de rayon r pour la norme la partie définie par .
Et on appelle boule fermée de centre a et de rayon r pour la norme la partie définie par .
Remarque :
Si , est vide et est réduit à mais si , n’est pas vide (contient par exemple a)
Exemple :
Des boules de centre O et de rayon 1 dans
Normes équivalentes
Définition :
Soient et deux normes sur E. On dit que et sont équivalentes lorsqu’il existe tel que et tel que .
Il est évident que cette relation est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes sur E, c'est-à-dire qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.
Exemple :
Dans , les normes et sont équivalentes.
En effet, pour chaque de , on a, en posant :
, c'est-à-dire .
En fait, sur , toutes les normes sont équivalentes, ce qui résulte du théorème :
Théorème (admis) :
Dans un R-ev de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Proposition :
Soient et deux normes équivalentes sur E, et soit A une partie de E. Alors A est bornée pour si et seulement si A est bornée pour . (Immédiat)
Par conséquent, dans , le caractère borné est indépendant du choix de la norme.
Proposition :
Si et sont deux normes équivalentes sur E, alors toute boule ouverte non vide pour contient une boule ouverte non vide et de même centre pour , et vice-versa.
Démonstration :
Notons les boules ouvertes pour et les boules ouvertes pour .
Soit tel que
Alors, pour tout et tout , on a
(car si , alors ).
Et on peut refaire la même chose en échangeant 1 et 2.
Eléments de topologie de .
Soit une norme sur . Toutes les boules considérées sont pour cette norme.
Voisinages d’un point de .
Soit a un élément de .
On appelle voisinage de a (dans ) toute partie U de qui contient une boule ouverte non vide de centre a.
D’après l’équivalence des normes sur , cette définition est indépendante du choix de la norme.
Proposition :
Toute partie de qui contient un voisinage de a est un voisinage de a (stabilité par extension)
Toute intersection finie de voisinages de a est un voisinage de a (stabilité par intersection finie)
Etant donnés deux éléments distincts a et a’ de , on peut toujours trouver un voisinage de a et un voisinage de a’ qui ne se rencontrent pas (séparation des voisinages)
Démonstration :
Soit D une partie de contenant un voisinage V de a.
Comme V est un voisinage de a, il contient une boule ouverte non vide de centre a, par exemple . Alors , donc D contient une boule ouverte non vide de centre a (à savoir ), donc est un voisinage de a.
Soit une famille de voisinages de a, indexée par K fini.
Notons .
Pour tout , soit tel que (il en existe car est un voisinage de a). Alors, pour , on a . (En effet, pour tout , si , alors , donc , soit )
Donc . Donc , donc V est un voisinage de a.
Soient a, a’ deux éléments distincts de .
Soit tel que .
Alors .
En effet, supposons que .
Soit alors .
Alors soit et . Donc ce qui est impossible car .
Pour la suite, on notera l’ensemble des voisinages, dans , d’un point a de .
Ouverts de .
Définition :
Soit une partie de . On dit que est ouverte lorsque est voisinage de chacun de ses points.
Compte tenu de la définition de voisinage, on a donc aussi l’équivalence :
est ouverte .
La notion est indépendante du choix de la norme, puisqu’elle ne dépend que de la notion de voisinages.
Exemple :
Les boules ouvertes sont ouvertes :
Soit une boule ouverte.
Soit . Donc . Soit alors tel que .
Alors . En effet :
Soit . Alors
Donc .
Or, . Donc , donc , d’où l’inclusion. Donc est un voisinage de x.
Donc est voisinage de chacun de ses points, donc ouverte.
et sont aussi ouverts.
Proposition :
Toute réunion d’ouverts est un ouvert.
Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Démonstration :
Soit une famille d’ouverts indexée par un ensemble I.
Notons .
Soit . Il existe alors tel que . Comme est ouvert, il existe tel que . Comme , on a donc .
Donc est voisinage de x. C’est valable pour tout . Donc est ouvert.
Soit maintenant une famille d’ouverts indexée par un ensemble K fini.
Notons .
Soit . Alors .
Pour tout , on pose alors tel que (ce qui est possible car les ensemble sont ouverts)
Posons . Alors . Donc .
D’où le résultat.
Proposition :
Soient n intervalles ouverts de R.
Alors le produit cartésien est un ouvert de .
Une telle partie est appelée un pavé ouvert.
Démonstration :
Soit un élément de .
Alors, pour chaque k entre 1 et n, est élément de l’intervalle ouvert , donc il existe tel que .
Si on pose , alors on a bien et la boule ouverte de centre a et de rayon pour la norme est contenue dans .
En effet, soit (où on a noté une boule ouverte pour )
Alors , donc , où .
Donc . Donc .
Donc .
Donc est un voisinage de a.
Donc est ouvert.
Fermés de .
Soit F une partie de . On dit que F est un fermé lorsque le complémentaire de F dans est un ouvert.
Exemples, propositions :
Les boules fermées sont fermées.
et sont fermés (et ce sont les seules parties à la fois ouvertes et fermées)
Toute intersection de fermés est un fermé, toute réunion finie de fermés est un fermé.
Tout produit cartésien de n intervalles fermés de R est un fermé de (qu’on appelle un pavé fermé de ).
Démonstration :
Soit une boule fermée. Notons son complémentaire dans .
Ainsi, .
Soit . Soit tel que .
Alors . En effet, soit .
Alors
Donc . Donc est un voisinage de x. Ce résultat est valable pour tout x, donc est ouvert.
Les complémentaires de et sont respectivement et qui sont ouverts, donc sont fermés.
Soit une famille de fermés indexée par un ensemble I quelconque. Si on note , Alors , donc est une réunion d’ouverts qui est un ouvert. On fait le même raisonnement pour une réunion finie de fermés.
Soient n intervalles fermés de R.
Soit le complémentaire dans de .
Soit . On note ses composantes dans . L’un au moins des est dans , disons où . Pour chaque , on pose si , et tel que sinon.
Alors, si on note , on a .
En effet :
Soit (où on a noté une boule ouverte pour ).
Montrons que .
On a .
Donc, en notant les composantes de y dans , on a :
. Donc en particulier , soit , c'est-à-dire .
Donc , c'est-à-dire . D’où l’inclusion.
Donc est un voisinage de x, donc est ouvert (puisque le résultat est valable pour tout x). donc est fermé.
Points intérieurs
Soit A une partie de .
Définition :
Etant donné , on dit que a est intérieur à A lorsque A est un voisinage de a, c'est-à-dire lorsqu’il existe tel que .
L’ensemble des points intérieurs à A est appelé l’intérieur de A, noté .
Proposition :
Soit A une partie de . L’intérieur de A est un ouvert contenu dans A ; et c’est le plus grand, au sens de l’inclusion, des ouverts contenus dans A.
Démonstration :
Déjà, est ouvert :
Supposons non vide (sinon il est bien ouvert).
Soit . Alors A est un voisinage de x, il existe donc tel que .
Alors . En effet, est ouverte, donc est voisinage de chacun de ses points. Donc A est voisinage de tout les points de (stabilité par extension), d’où l’inclusion.
De plus, il est évidemment contenu dans A.
Montrons maintenant que c’est le plus grand :
Soit un ouvert contenu dans A. Soit . Comme est ouvert, c’est un voisinage de x. Mais . Donc A est un voisinage de x. Donc . Donc .
Il résulte en particulier de la proposition que A est ouvert si et seulement si .
Exemple :
Dans , l’intérieur de est .
Points adhérents
Soit A une partie de .
Définition :
Etant donné , on dit que a est adhérent à A lorsque tout voisinage de a rencontre A, c'est-à-dire lorsque .
L’ensemble des points adhérents à A est appelé l’adhérence de A, noté .
Proposition :
Soit A une partie de . L’adhérence de A est un fermé contenant A, et c’est le plus petit, au sens de l’inclusion, des fermés contenant A.
Démonstration :
Déjà, contient bien A…
Posons maintenant . Montrons que est ouvert.
Soit . Alors , il existe donc tel que .
Alors . En effet : soit . Alors est un voisinage de y, et il ne rencontre pas A, donc , donc .
Donc est un voisinage de x. C’est valable pour tout x de , donc est ouvert.
Donc est fermé.
Soit enfin F un fermé contenant A. Montrons qu’alors .
Soit , montrons que . Supposons que . Alors , qui est ouvert. Il existe donc tel que . Ainsi, . Mais alors (puisque ), ce qui est impossible car . Donc . Donc . Donc est bien le plus petit des fermés contenant A.
Ainsi, il résulte de la définition que A est fermé si et seulement si .
Exemples :
Dans , l’adhérence de est .
L’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée de même centre et même rayon.
Commentaires et précisions sur les fonctions d’une partie de R dans .
Limite en un point de R pour une fonction d’une partie de R dans .
On a déjà défini cette notion, dans le cours sur les foncions vectorielles, mais ici la norme n’est pas forcément euclidienne.
Etant donnés une partie D de R, une fonction f de D dans , un point a de R adhérent à D, et un élément l de , on a vu :
où désignait la norme euclidienne sur .
Mais, vu l’équivalence des normes sur , il est clair que peut désigner n’importe quelle norme sur sans que cela change la notion.
On peut même traduire la définition sous forme de voisinage, qui montre bien l’indépendance de la norme :
Remarque :
En prenant comme norme sur la norme , on retrouve immédiatement le fait que :
Où on a noté et
Précisions sur les suites à valeurs dans .
Notons une norme quelconque sur .
Etant donnée une suite à valeurs dans , nous noterons les suites à valeurs réelles telles que (suites coordonnées)
Définition :
Soit u une suite à valeurs dans , et soit . On dit que la suite u converge vers l lorsque pour tout voisinage V de l, il existe tel que .
Cela revient à dire : u converge vers l lorsque .
Remarque :
On vérifie aisément que la définition est encore en accord avec le cours sur les fonctions vectorielles dans le cas de limite en d’une fonction de dans .
Ainsi, les résultats suivants sont des cas particuliers de choses déjà dites :
u tend vers l si et seulement si la suite réelle tend vers 0.
u tend vers si et seulement si chaque suite coordonnée tend vers .
Si u tend vers l et u’ tend vers l’, alors pour tout réel , tend vers .
Autre remarque :
Dans le cas , on voit aussi que la suite à valeurs dans de terme général converge vers l’élément de revient à dire que la suite complexe de terme général converge vers le complexe .
On a aussi les résultats suivants :
Toute suite convergente d’éléments de est bornée (reprendre exactement la démonstration du cas réel en remplaçant les valeurs absolues par des ).
De toute suite bornée d’éléments de , on peut extraire une suite convergente (Théorème de Bolzano–Weierstrass ; la démonstration faite dans le cas complexe se généralise aisément à ).
Enfin, ajoutons cette caractérisation (dite séquentielle) des points adhérents à une partie :
Proposition :
Soit A une partie de , et soit . Alors a est adhérent à A si et seulement si a est la limite d’une suite convergente de points de A.
Démonstration :
Supposons que où u est une suite de points de A.
Soit V un voisinage de a. Alors il existe tel que pour tout , . Donc n’est pas vide, et comme c’et valable pour tout voisinage de a, ce point est donc adhérent à A.
Inversement, supposons a adhérent à A.
Alors pour tout , n’est pas vide, et donc on peut introduire tel que , et la suite est une suite de points de A qui converge vers a.
Conséquence :
Une partie A de est un fermé si et seulement si toute suite convergente de points de A a sa limite dans A. (Résulte immédiatement du fait que A est fermé si et seulement si .
Limite et continuité pour les fonctions d’une partie de dans .
Notations
On note une norme quelconque sur , et on note aussi une norme quelconque sur : c’est ce qui est à l’intérieur qui permet de distinguer.
Si n ou p vaut 1, on prendra de préférence sur R la norme .
D désigne ici une partie non vide de , et f est une application de D dans . On désigne par les applications coordonnées de f, c'est-à-dire les applications de D dans R définies par .
Enfin, si est un élément de D (qui est une partie de ), on note , c'est-à-dire qu’on omet une paire de parenthèses (d’où le nom de « fonction de p variables »)
Limite
Dans tout ce sous paragraphe, a est un élément de adhérent à D.
Définition :
Soit . On dit que f tend vers l en a lorsque pour tout voisinage V de l (dans ), il existe un voisinage U de a (dans ) tel que .
Compte tenu de ce que sont les voisinages, cela revient à dire que f tend vers l en a si et seulement si :
(Et ce quel que soit le choix des normes)
On vérifie aisément les résultats suivants :
Unicité de la limite éventuelle (séparation des voisinages)
Si f a une limite en a, alors cette limite est dans l’adhérence de .
Si , et si f a une limite en a, alors cette limite est .
La notion de limite en a est locale :
Si U est un voisinage de a, alors f tend vers l en a si et seulement si f restreinte à tend vers l en a.
f admet la limite l en a si et seulement si pour toute suite à valeurs dans D qui converge vers a, la suite converge vers l.
Limites et opérations simples sur les fonctions définies sur D :
Si f tend vers l en a, et si g (à valeurs dans ) tend vers l’ en a, alors tend vers en a.
Si f tend vers l en a et si est un réel, alors tend vers en a.
Plus généralement, si f tend vers l en a, et si (à valeurs réelles) tend vers en a, alors tend vers en a.
On montre aussi facilement le théorème de composition de limites :
Soit f une fonction à valeurs dans définie sur D, soit une fonction à valeur dans définie sur une partie de contenant .
Si f tend vers l en a, et si tend vers en l, alors la fonction tend vers en a.
Enfin, dans le cas , c'est-à-dire pour les fonctions à valeurs réelles, on a aussi les résultats classiques portant sur les inégalités :
Passage à la limite dans une inégalité : si f tend vers l en a, si g tend vers l’ en a et si , alors .
Théorème des gendarmes :
Si f et h tendent vers l en a, et si , alors g tend vers l en a.
Pour les démonstrations de tous ces résultats, il suffit de reprendre exactement les démonstrations vues dans le cas des fonctions réelles à variable réelle – chapitre « limite en un point » –, en changeant si nécessaire les intervalles en boules (en particulier pour le 5ème point, et en retirant les cas où ).
De plus, deux résultats importants permettent de se ramener aux fonctions à valeurs réelles :
f tend vers l en a si et seulement si la fonction tend vers 0 en a (immédiat)
f tend vers en a si et seulement si pour chaque , la fonction coordonnée tend vers en a.
En effet :
On prend sur la norme . On a les équivalences :
f tend vers en a
pour chaque , la fonction coordonnée tend vers en a.
D’où l’équivalence.
Continuité en un point
Définition :
Soit a un élément de D. On dit que f est continue en a lorsque f admet une limite en a (cette limite étant alors )
Par simple traduction, dans le cas , des résultats sur l’éventuelle limite en a, on obtient :
f est continue en a si et seulement si pour tout suite à valeurs dans D qui converge vers a, la suite converge vers .
Continuité et opérations simples sur les fonctions définies sur D :
Si f et g sont continues en a, alors est continue en a.
Si f est continue en a, et si (à valeurs réelles) est continue en a, alors est continue en a.
Et le théorème de composition de limites donne :
Soit f une fonction à valeurs dans définie sur D, soit une fonction à valeur dans définie sur une partie de contenant .
Si f est continue en a, et si est continue en , alors la fonction est continue en a.
Enfin, pour se ramener aux fonctions réelles :
f est continue en a si et seulement si la fonction réelle tend vers 0 en a.
f est continue en a si et seulement si les fonctions coordonnées sont continues en a.
Fonctions continues
Définition :
On dit que f est continue (sur D) lorsque f est continue en tout point a de D.
Les résultats précédents donnent :
Opérations sur les fonctions continues sur D :
Si f et g sont continues, alors est continue.
Si f est continue, et si (à valeurs réelles) est continue, alors est continue.
Composition :
Si f est une fonction continue à valeurs dans définie sur D, si est une fonction continue à valeur dans définie sur une partie de contenant , alors est continue.
Enfin, f est continue si et seulement si les fonctions coordonnées sont continues
Ainsi, on remarque que la nouveauté et la difficulté vient non pas du fait que les fonctions considérées sont à valeurs dans , mais dans le fait que leur ensemble de départ est une partie de .
Exemples :
L’application identité sur , les applications constantes sur sont continues : évident
La norme est continue, c'est-à-dire que l’application de dans R qui à x associe est continue (quelle que soit la norme)
En effet, pour tous x, x’ de , on a ; la continuité en tout x de en résulte immédiatement, avec : .
Pour chaque k entre 1 et p, la k-ième projection canonique de sur R, c'est-à-dire l’application de dans R qui à associe x est continue.
En effet, pour tous x, x’ de , on a :
La continuité de en tout x de en résulte immédiatement (par le théorème des gendarmes, vu le théorème précédent)
Ainsi, compte tenu de cela et des résultats portant sur les opérations sur les fonctions continues, la continuité sur d’une application du genre est évidente.
En détails :
L’application est continue (sur ) et à valeurs dans R ;
L’application est continue et à valeurs dans R, et l’application est aussi continue et à valeurs dans R, donc est continue (sur ) et à valeurs dans R.
Donc est continue et à valeurs dans R.
Or, l’application est continue sur R, et à valeurs dans R. Donc est continue (sur ) et à valeurs dans R.
De plus, l’application est continue et à valeurs dans R.
Il en résulte que est continue et à valeurs dans R.
D’autre part, l’application est continue sur R, et l’application est continue sur et à valeurs dans R. Donc est continue sur .
Donc est continue sur .
Soit f la fonction définie sur par
La continuité de f en tout point de est encore évidente.
En : pour tout , on a :
Et l’inégalité est encore valable pour .
De plus, est continue en , donc
Donc, d’après le théorème des gendarmes, .
Ajoutons maintenant deux résultats importants sur les fonctions continues (on travaille toujours sur les fonctions d’une partie de dans :
Théorème (admis, vu en spé) :
L’image d’une partie fermée et bornée par une fonction continue est une partie fermée et bornée.
Conséquence :
Toute fonction réelle f continue sur une partie (non vide) fermée et bornée de est bornée et atteint ses bornes.
En effet, les bornes inférieures et supérieures d’une partie non vide et bornée de R sont dans l’adhérence de cette partie, donc les parties non vides fermées et bornées de R contiennent leurs bornes inférieures et supérieures.
Théorème :
L’image réciproque d’un ouvert par une fonction continue de dans est un ouvert. L’image réciproque d’un fermé par une fonction continue de dans est un fermé.
Démonstration :
Soit , continue.
Soit un ouvert de . Soit . Alors , et comme est ouvert, il constitue un voisinage de dans . Comme f est continue en a, on peut donc introduire un voisinage U de a dans tel que . Mais alors contient U, et donc est un voisinage de a. Comme c’est valable pour tout , est bien un ouvert.
Soit F un fermé de . Soit le complémentaire de F dans . est ouvert, donc, selon le résultat précédent, est ouvert. Or, de façon purement logique, est le complémentaire de dans :
C’est donc le complémentaire d’un ouvert, c'est-à-dire d’un fermé.
Conséquence :
Si f est une fonction réelle continue sur , alors pour tout réel , l’ensemble des de tels que est un ouvert de et l’ensemble des de tels que est un fermé de .
En effet, et sont respectivement un ouvert et un fermé de R.
Applications partielles et continuité
Soit toujours et soit .
Pour chaque entier k entre 1 et p, on note l’ensemble des réels t tels que , et l’application de dans qui à t associe . s’appelle la k-ième application partielle associée à f en a.
Définition :
Si l’application est continue en , on dit que f est, au point a, continue par rapport à la k-ième variable.
Proposition :
Si f est continue en a, alors f est, en a, continue par rapport à chaque variable.
Démonstration :
On peut écrire que où est l’application qui à t associe . Or, cette application est continue, donc on obtient le résultat par composition : est continue en , donc si f est continue en , alors est continue en .
Attention : la réciproque de la proposition est fausse. Cela signifie que l’étude de la continuité d’une fonction de plusieurs variables ne se ramène pas à l’étude de la continuité de fonctions d’une variable.
Exemple : Soit f la fonction définie sur par
Alors les applications partielles en sont les applications et , qui sont nulles, donc f est, en , continue par rapport à chaque variable. Mais si , alors , et il en résulte alors que f n’est pas continue en :
Comme , si f était continue en , elle tendrait vers 0 en . Mais si on prend , on ne trouvera jamais tel que (l’implication sera toujours fausse avec ).
Autre manière : comme est évidemment continue, si f était continue en , alors d’après le théorème de composition l’application serait continue en 0, ce qui n’est évidemment pas le cas (nulle en 0 et constante non nulle sur )
