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Propagation des ondes électromagnétiques Propagation des ondes électromagnétiques (OEM) dans le vide Equation de propagation Dans le vide, les équations de Maxwell s’écrivent : , , , Les équations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère donnent : , Ainsi, l’onde se propage avec une célérité Remarque : En coordonnées cartésiennes, Ondes planes progressives (OPP) Ondes : , Ondes planes : , (OP) Ondes planes progressives : / (régressive) Remarque : Une onde plane solution de l’équation d’onde classique se met sous la forme d’une one plane progressive et d’une onde plane régressive : Formalisme vectoriel Pour une onde plane progressive  : On a Et Donc pour une onde plane progressive : Soit, pour l’opérateur  : Structure de l’onde Les équations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère deviennent : Donc Soit, pour une onde plane progressive ( puisque pour une onde plane progressive, x et t sont couplés) Et Soit . Les trois vecteurs forment donc un trièdre direct. C’est une onde transverse électromagnétique (TEM) : elle est orthogonale à la propagation. (Lorsque une onde est dans le sens de la propagation, on dit qu’elle est longitudinale) sont orthogonaux. On a et n’ont pas forcément des directions fixes dans le plan transverse. Aspect énergétique Densité d’énergie électromagnétique : On a Vecteur de Poynting : On a Vitesse de propagation de l’énergie : On a Donc . Quantité de mouvement du champ On a Ondes planes progressives sinusoïdales (OPPS) Transformation de Fourier Décomposition en ondes planes progressives sinusoïdales : On a Amplitude complexe : On note . Pour une onde plane progressive sinusoïdale, on a : Remarque : est indépendant de t (par nature !) Mais le vecteur lui correspondant dépend du temps. Opérateurs : , Structure de l’onde plane progressive sinusoïdale Equations de Maxwell en complexe : Maxwell–Gauss : Maxwell–Flux : Maxwell–Faraday : Maxwell–Ampère : Transversalité des champs : L’équation de Maxwell–Gauss montre que est transverse. L’équation de Maxwell–Flux montre que est aussi transverse. Donc on a une onde transverse électromagnétique. Remarque : Une onde plane progressive sinusoïdale est toujours transverse magnétique (même hors du vide) Mais pas toujours transverse électrique (sauf si ) Relation de dispersion : L’équation de Maxwell–Faraday donne : Et en injectant dans l’équation de Maxwell–Ampère : Et, comme , D’où la relation de dispersion Amplitude complexe : forme un trièdre direct. Dans une base , où est la direction de propagation, on a : On a , Champs réels : On a Donc et Etats de polarisation On pose , et on déclenche le chronomètre de façon à ce qu’on ait de la forme Ainsi, en un point de l’espace, peut être considéré comme un oscillateur harmonique : Polarisation rectiligne (OPPSPR) : C’est lorsque ou . a une direction fixe en un point de l’espace. En un autre point, il sera déphasé mais toujours dans la même direction. On choisit comme direction de celle de  : On a alors Et Polarisation elliptique : C’est le cas général : tourne dans le plan transverse, et pas à vitesse constante, mais selon la loi des aires. suit avec un déphasage : Représentation à l’instant t : guirlande torsadée : Toute polarisation elliptique se décompose en deux ondes rectilignes (dont les axes, orthogonaux, peuvent être pris au choix) Polarisation circulaire : C’est lorsque ou , et tourne dans ce cas à vitesse angulaire constante On a Et donc en circulaire droite , c'est-à-dire Et en circulaire gauche , soit Toute vibration circulaire peut se décomposer en deux vibrations rectilignes orthogonales. Toute vibration rectiligne peut aussi se décomposer en une vibration circulaire droite et une vibration circulaire gauche : Aspect énergétique Attention : Les grandeurs énergétiques sont quadratiques, et il faut donc faire attention pour le calcul avec les complexes (on ne peut pas faire de calcul instantané de cette manière, mais on a déjà vu des résultats pour des valeurs moyennes) Densité d’énergie électromagnétique : On a Donc Remarque : on avait déjà vu que l’énergie d’un oscillateur harmonique bidimensionnel est la somme des énergies unidimensionnelles. Cette énergie est indépendante de l’état de polarisation. Vecteur de Poynting : On a Vitesse de propagation de l’énergie : On a Propagation dans un milieu diélectrique LHI Rappel : équations de Maxwell dans un milieu LHI Où et désignent les charges et courants libres, et , sont complexes. Propagation dans un isolant non chargé Dans un tel milieu (verre, plastique), il n’y a donc pas de courant libre (isolant électriquement) et le milieu n’est pas chargé () Equations de Maxwell : On a donc une onde transverse électromagnétique. Relation de dispersion : Dans le vide, on avait Ici, Equation d’onde : On a des relations pour passer de la relation de dispersion à l’équation d’onde, mais il faut déjà connaître et qui sont complexes, ou au moins leur produit. Par exemple, si On aura comme relation de dispersion , et donc avec les opérateurs , soit Indice complexe : On pose (au signe près) Ainsi, on peut écrire , où n’, n’’ sont réels () n s’appelle l’indice complexe du milieu. La relation de dispersion s’écrit ainsi Et donc Dans le cas où (l’autre cas est analogue dans l’autre sens) : On a alors une onde de la forme Propagation : On a Si n’ dépend de , en dépend aussi, et on a un milieu dispersif. Le milieu sera aussi dispersif spatialement, comme par exemple avec un prisme : Pour le montrer sous forme d’image, on imagine l’onde changeant de milieu comme une voiture passant du bitume au sable. Lorsque cette voiture est sur le sable, elle avance moins vite, et sera déviée lorsqu’elle passe du bitume au sable : La roue gauche arrivera sur le sable avant la roue droite, et avancera donc moins vite pendant le temps que la roue droite arrive sur le sable aussi, et la voiture sera donc déviée. Atténuation : C’est le terme en , avec En général, l’atténuation est aussi sélective. On a trois cas : Soit et , c'est-à-dire  : propagation sans atténuation Soit et , c'est-à-dire  : on a une onde stationnaire exponentielle, c'est-à-dire une atténuation sans propagation (onde évanescente) Soit et , c'est-à-dire  : propagation et atténuation. Dans les deux premiers cas, il n’y a pas de dissipation d’énergie. Propagation dans un conducteur ohmique Equations de Maxwell Charges libres . Conservation de la charge (libre) : , soit Loi d’Ohm : , avec Equation de Maxwell–Gauss : On a donc un système de trois inconnues en , , . Qui n’a qu’une seule solution , , sauf si le déterminant est nul : C'est-à-dire Donc soit , et peut être quelconque Soit , et , c'est-à-dire (pulsation plasma) En régime sinusoïdal, il n’y a donc pas de charge libre dans le conducteur, sauf éventuellement à la pulsation plasma (si elle est réelle) Courants libres . On a Donc Avec On obtient la même équation que pour un isolant non chargé (si en plus ) Propagation dans un plasma Modèle Plasma : Description : C’est un gaz ionisé en ions et électrons. Electrons : masse m, charge , particules par unité de volume . Ions : M, , (on suppose que les particules ne sont ionisées qu’une fois) A l’équilibre thermodynamique, Exemples : Gaz à haute température : On a donc Ionosphère : C’est la couche de l’atmosphère comprise entre 50 et 500km : Les rayons venant du soleil ionisent les particules, pour une fréquence c'est-à-dire une longueur d’onde , visible. Propagation d’une OPPS : On a Il faut calculer On considère que , c'est-à-dire qu’on néglige la polarisation des ions, et les spins des électrons devant les charges et courants libres. Mouvements des ions et des électrons Forces s’exerçant sur les particules chargées : Poids Interactions électromagnétiques avec les autres particules Interaction avec l’OPPS Amortissement (chocs, perte d’énergie due au rayonnement créé par une charge accélérée) On néglige toutes les interactions devant l’OPPS : Pour le poids,… Pour les interactions électromagnétiques, on suppose que le champ créé par les charges est suffisamment faible. Pour les chocs, il y a plus de place dans un plasma. Enfin, pour l’amortissement, on réduit le temps d’étude au temps caractéristique du rayonnement (), qui et très faible devant celui de l’amortissement. Enfin, on néglige devant . En effet, on a vu que dans le vide , donc ici et sont du même ordre. Mais on suppose que , et donc on aura Ainsi, le bilan des forces se réduit à Mouvement des électrons On a  : paramètre indiciel (position moyenne de l’électron)  : paramètre dynamique. On a hypothèse simplificatrice : On suppose que (C'est-à-dire que ) Oscillations forcées : On a , avec Donc en complexe Et donc On a , et , donc , l’hypothèse précédente est donc justifiée. Mouvement des ions : On a de même Et On peut donc négliger le mouvement des ions devant celui des électrons. Remarque : ce qui reste fixe, c’est le barycentre ions–électrons, et on peut donc introduire la masse réduite pour résoudre le problème plus rigoureusement… Conductivité du milieu On a On suppose que le nombre de particules par unité de volume est quasiment celui de l’équilibre n (remarque : la supposition que les ions n’étaient ionisés qu’une seule fois n’avait pas beaucoup d’importance ici) Ainsi, Donc La loi d’Ohm s’écrit donc en complexe dans un plasma, en prenant . Ainsi, On a donc Ce qui est normal puisqu’on a supprimé dans le modèle toute dissipation d’énergie. Pour un conducteur ohmique, on avait Et Densité de charges Equation de Maxwell–Gauss : Conservation de la charge : Loi d’Ohm : Donc en combinant les trois équations, Ainsi, Ou avec Différents cas : Si , alors . Si , on peut avoir Pulsation plasma : On a Propagation de l’OPPS On suppose que (ou plutôt que ) Relation de dispersion : Equation de Maxwell–Faraday : Equation de Maxwell–Ampère : Donc Soit On a donc la relation de dispersion Ou Equation d’onde : On a ainsi l’équation (équation de Klein–Gordon) Domaine dispersif :  : On a alors Donc on a une propagation sans atténuation. Vitesse de phase : La vitesse de phase dépend de , et est supérieure à c. Vitesse de groupe : On a En différentiant la relation de dispersion, on obtient ici : donc c'est-à-dire On admet qu’elle représente la vitesse de propagation de l’énergie. On a ainsi . Lorsque , l’onde passe à travers le plasma « sans le voir ». Domaine réactif : . On a alors Donc On a une onde évanescente, avec , . Vibration plasma : . On peut avoir dans ce cas Si , alors , et le plasma vibre en bloc ; il n’y a pas de propagation dans ce cas. Si , on a alors , et on a vu que d’après l’équation de Maxwell–Ampère, c'est-à-dire ici Donc Donc a une composante longitudinale dans le plasma (dans les autres cas, on avait une onde transversale électrique) Réflexion sur un plasma Si  : Une partie de l’onde sera réfléchie L’autre sera propagée sans atténuation. En  : par conservation de l’énergie, Si  : Il n’y a pas d’onde transmise En moyenne, . Donc , donc on a une réflexion totale. Réflexion totale frustrée : Si , on est dans le même cas que précédemment. Si , il peut y avoir une partie de l’onde qui traverse. Applications Confinement des plasmas : Si on envoie sur un plasma une onde électromagnétique de pulsation inférieure à , cette onde exercera sur le plasma une pression de radiation. Avec un rayonnement suffisamment intense, on peut ainsi maintenir le plasma en équilibre sans qu’il n’y ait de contact matériel (Et ainsi pouvoir atteindre des températures très élevées, sans que le matériel ne fonde) Transmission radio : Couche de Kennely–Heaviside : A basse altitude, le rayonnement solaire est trop faible pour ioniser beaucoup de particules, et à haute altitude, il n’y a quasiment plus d’air : (n : nombre d’électrons libres par unité de volume) Propagation d’une onde électromagnétique : On aura pour une courbe de la forme () : Donc les ondes de pulsation inférieure à une valeur critique seront réfléchies vers la surface de la Terre (à une altitude différente selon la pulsation) Polarisation des ondes lumineuses Polarisation de la lumière naturelle Emission de train d’onde Une source de lumière naturelle n’émet pas une onde continue (elle correspond à l’excitation puis la désexcitation des atomes, qui peut être complètement désordonné), ni même d’amplitude constante. Modèle classique Modèle : Chaque train d’onde correspond à une onde transverse, Polarisée rectilignement. D’un train d’onde à l’autre, la direction de polarisation varie aléatoirement. Remarque : Il existe un autre modèle où chaque train d’onde est polarisé elliptiquement. Aucun de ces deux modèles n’est vrai pour la mécanique quantique. Polariseur rectiligne Définition Un polariseur rectiligne est un objet tel que toute onde entrante ressort polarisée rectilignement dans une direction liée au polariseur : Effet d’un polariseur sur une vibration quelconque Pour une polarisation elliptique : Utilisation en polariseur et en analyseur Polariseur : Permet d’obtenir une onde polarisée rectilignement à partir d’une onde quelconque. Analyseur : Permet de voir si une onde est polarisée rectilignement (l’onde ne passe alors pas dans la direction orthogonale à l’axe du polariseur). Loi de Malus Dispositif expérimental : Données expérimentales : On note I l’intensité émergeant, c'est-à-dire la puissance surfacique : On trouve expérimentalement que (loi de Malus). Interprétation : Champ  : On a , Et Intensité : On a () Donc Sur un train d’onde (en moyennant sur un temps caractéristique très inférieur à celui de l’ensemble des trains d’ondes) : Puis sur plusieurs trains d’onde : (On suppose que les trains d’onde ont la même amplitude) : Donc (On n’avait pas besoin de faire le calcul : on pouvait poser directement ) Les polaroïds Fabrication : On prend une résine synthétique coulée en fine plaque Et on étire la feuille dans une certaine direction : La résine est ainsi devenue anisotrope. On plonge ensuite cette feuille dans une solution contenant du colorant (comme le diiode) Les molécules de diiode peuvent alors assez facilement donner des électrons à leur voisin, et on peut ainsi faire circuler un courant électrique dans la direction de l’étirement. Ainsi, le matériau est aussi électriquement anisotrope : Dichroïsme : Le champ va provoquer un déplacement des charges, et donc une puissance joule . Ainsi, Donc le champ longitudinal sera quasiment absorbé par les charges, alors que ne sera quasiment pas atténué.