Transcript
Interférences par division du front d’onde
Trous d’Young
Dispositif expérimental
A distance finie
A l’infini
Il y a en M une intensité . On doit trouver
On admet que diffractent de façon quasiment isotrope.
Expression du déphasage
Expression générale en fonction du chemin optique
En S : on a une phase
En M : de , on a une phase ( : temps mis par l’onde pour aller de S à M en passant par ).
On a ( : chemin optique : le long du parcours)
Ainsi,
De , on aura
On a donc
( : différence de marche, ou différence de chemin optique)
Cas d’un milieu homogène
Expression rigoureuse :
()
Où ,
Ainsi, ()
Expression approchée :
On suppose
Ainsi,
Et
Donc . Et
Figure d’interférence
Franges
On a des franges claires pour ,
Et des franges sombres pour
Rigoureusement :
On a donc des hyperboloïdes de foyers
Pratiquement :
Franges claires ()
On a , donc
Franges sombres ()
On a , donc
Interfrange :
C’est un écart pour lequel , soit
Eclairement de l’écran
Si , sont indépendants de y :
Facteur de visibilité, contraste
On pose , contraste.
On a
v correspond à l’écart relatif entre et
Si ,
Si , . On a alors
Où .
Répartition de l’énergie
Si , on a alors ,
Les interférences correspondent donc à une autre répartition de la même énergie.
Interférence photon par photon :
On prend une source lumineuse très faible, émettant les photons quasiment un par un :
On observe effectivement qu’il y a des zones où les photons ont une probabilité nulle de tomber, et d’autres où ils ont au contraire une très forte probabilité.
Déplacement des franges par variation d’indice
Exemple
On a
Et (, )
Donc
On pose
Ainsi,
On a donc toujours des fentes parallèles à l’axe Oy.
Toutes les franges sont décalées de du côté où on a mis la petite lame.
L’interfrange n’est pas modifié.
Application : calcul de l’indice de l’air
On place le point M sur une frange claire.
On laisse ensuite entrer très progressivement l’air dans le tube vide.
A la fin, le point M est décalé, et on compte combien de franges sont passées par le point M.
On peut ainsi calculer l’indice de l’air :
Observation : avec , on voit passer 99 franges claires, et le point M s’arrête sur la frange sombre suivante.
Avant :
Après :
Donc
Soit avec
On peut donc faire des calculs très précis.
Déplacement des franges par décalage du point source
On suppose que
On a
Et ,
Donc
En posant , on a
On a , donc la figure est translatée en bloc.
Il n’y a pas de changement si on décale la source selon l’axe Oz.
L’interfrange n’est pas modifié.
Fentes d’Young
Remplacement des trous S1, S2 par des fentes
Dispositif expérimental
On suppose que les fentes ont une hauteur .
Cohérence temporelle
D’après le principe de Huygens–Fresnel, les fentes vont émettre de façon cohérente l’une avec l’autre
Amplitude
Calcul direct :
Utilisation de la convolution :
Donc
Intensité
On a
Pour :
Remplacement du point source par une fente source
Dispositif
On prend une fente source de largeur e selon y, h selon z.
Cohérence spatiale
Elargissement de la source :
Selon Oz :
Les franges se superposent (il y a un décalage vertical), donc on n’aura pas de changement.
Selon Oy :
Pour une répartition uniforme (c'est-à-dire un contraste nul), on a , c'est-à-dire . Si la fente est plus petite, il n’y aura pas exactement annulation des interférences.
Calcul de l’intensité
On fractionne la surface en éléments de surface
Intensité élémentaire :
Pour une source ponctuelle,
, avec
Soit
Donc pour un élément de surface
Intensité résultante :
Contraste :
Influence de la répartition spectrale de la source
Cas d’une raie spectrale double
Pour deux longueurs d’onde où
Exemple : le sodium ,
()
Calcul de l’intensité :
Pour la longueur d’onde , on aura une intensité
Pour la longueur d’onde ,
On suppose pour simplifier que (faux pour le sodium)
Ainsi, ,
Donc comme les sources de et sont incohérentes :
( dépend de y)
On a donc un battement spatial.
Contraste :
()
Pour le sodium :
,
Donc
Influence de la largeur spectrale d’une raie
Pour une source ponctuelle, monochromatique,
, où
Ici,
Donc
Puis
()
Et on reconnaît dans une transformée de Fourier.
La transformée est bijective : à partir de la figure d’interférence, on peut identifier la forme de la répartition spectrale (spectrométrie par transformée de Fourier)
Cas d’une répartition rectangulaire
Intensité :
On a alors
Contraste :
; le contraste s’annule en
On a à la première annulation : (longueur de cohérence)
Ainsi, la différence de marche est égale à la longueur de cohérence : le premier train d’onde vient de finir d’arriver quand le deuxième arrive.
Interférence en lumière blanche
Pour un corps noir :
Observations sur un écran :
La lumière blanche provient d’une superposition de sources incohérentes de longueurs d’onde différentes.
Pour une onde monochromatique :
On aura donc pour des longueurs d’onde correspondant au rouge et bleu :
On a donc :
Une frange centrale blanche
Un peu plus loin, des franges irisées
Encore plus loin, un blanc d’ordre supérieur :
Pour une courbe générale, par exemple de la forme :
Lorsqu’on coupe une partie du spectre, on voit le complémentaire.
Ici, on a une coupe de la forme :
Ainsi, l’œil voit blanc (les coupes sont trop resserrées), mais pas un blanc normal.
Analyse au spectroscope :
Ordre d’interférence en M :
, dépendant de .
On observe le spectre de la lumière blanche, mais avec certaines parties plus sombres que d’autres :
(Spectre cannelé)
Cannelures claires :
C’est lorsque , soit
Cannelures sombres :
Exemple :
Pour , :
Si , on a des cannelures brillantes pour (4,2 et 8,5 correspondent à p pour le rouge et le bleu)
Ainsi, on peut avoir
Si maintenant on déplace M progressivement à partir de O (milieu de l’écran) :
En O, on voit tout le spectre.
En montant, à k fixé, quand y augmente, va aussi augmenter.
Si on monte progressivement à partir de O : on voit une grosse cannelure sombre apparaître dans le bleu et se déplacer vers le rouge en se resserrant peu à peu ; avant qu’elle ne soit totalement sortie, une autre apparaît dans le bleu, un peu plus resserrée,…
Autres dispositifs interférentiels par division du front d’onde
Principe
A partir d’une seule source (cohérence temporelle) ponctuelle (cohérence spatiale), on forme deux sources secondaires cohérentes.
On a ainsi :
Où i est l’interfrange,
où :
est la différence de chemin optique,
la différence de marche entre et .
Bilentilles de Billet
On prend une lentille simple, qu’on coupe en deux sur son diamètre :
(S’ est l’image de S par la lentille si elle était restée collée)
Pour construire géométriquement l’image de S, on peut considérer qu’un rayon passant par le centre (coupé en deux) ne sera pas dévié, et une lentille (même coupée en deux) vérifie l’aplanétisme, c'est-à-dire que les images de points dans un même plan vertical seront aussi dans un plan vertical.
Ainsi, les deux images de chaque ½ lentille sont dans un même plan :
On aura donc deux sources secondaires, qui pourront interférer dans la zone hachurée (on a ainsi des interférences non localisées)
Miroirs de Fresnel
On note . On a (l’angle au centre intercepte le même arc que l’angle au sommet )
Ainsi, ( doit être petit pour que soit proche de )
Miroir de Lloyd
Il est moins pratique que les miroirs de Fresnel : pour les miroir de Fresnel, on avait . Ici, on a en général , donc on a un moins bon contraste.
Intérêt :
En O (à proximité), on devrait avoir géométriquement , c'est-à-dire une frange claire en O.
En fait, on observe une frange sombre : il y a un déphasage à la réflexion, donc . On a ainsi pu mettre en évidence expérimentalement le déphasage de à la réflexion.
Bilentilles de Meslin
On ne décale pas les lentilles dans la même direction que pour les bilentilles de Billet :
Champ d’interférence
On obtient deux ½ cônes :
Forme des franges
On a, sur une frange
(Pour la source 2, le rayon passe par M après être passé par la source, d’où le +, et pour la source 1, il passe avant, d’où le –)
et sont indépendants du rayon (principe de Fermat)
Ainsi, pour un frange,
Dans un milieu homogène, on a alors , ce qui correspond à l’équation d’une ellipsoïde de foyers et (coupée en deux)
En O, les deux rayons ont parcouru le même chemin optique, donc géométriquement, , c'est-à-dire qu’on devrait avoir une frange claire.
En fait, on a une frange sombre : on peut montrer que lorsque la lumière passe par un de ses foyers, il y a un déphasage de :
Comme en O l’un des deux rayons est déjà passé par son foyer, on aura , d’où la frange sombre.
On a ainsi encore mis en évidence expérimentalement le fait qu’on a un déphasage.
Biprisme de Fresnel
Dispositif
Source à distance finie :
On peut montrer que le prisme est approximativement stigmatique, et que l’image est dans le plan de S :
(, l étant la distance de S à la pointe du prisme)
A l’infini :
Calcul de la direction
On a , donc
Et , donc .
Calcul de l’interfrange
On place deux points M, M’ à une distance d’un interfrange :
On aura donc un déphasage entre M et M’ :
On aura
Donc , c'est-à-dire
Donc ou
On a avec les notations du dessin :
Donc
Cas particuliers :
Si ,
Si ,
