Transcript
Généralités sur les interférences
Interférence de deux vibrations scalaires sinusoïdales synchrones
Amplitude et intensité résultantes
En M :
Amplitude résultante
On a
Donc
Intensité résultante
Donc
Si ,
Si ,
Cas particulier
Si ,
Condition d’interférence
Superposition des vibrations
Il faut pouvoir sommer les amplitudes :
Pour les ondes électromagnétiques, cela découle des équations de Maxwell, qui sont linéaires.
Dans d’autres domaines, ce n’est pas toujours vrai.
Vibrations scalaires
:
Pour des ondes vectorielles de même direction :
,
Donc où
Ondes vectorielles orthogonales :
,
Il n’y a pas d’interférence.
Cas général :
Il y aura un terme supplémentaire dans le produit , donc on aura une interférence.
On aura alors
Vibrations asynchrones
Si , où , on aura un phénomène de battements :
Intensité : on a
Influence du détecteur :
Un détecteur ne détecte pas les variations en dessous d’un certain seuil (pour l’œil, )
On a pour tous les détecteurs , donc le terme en est systématiquement moyenné par tous les détecteurs.
On peut par contre avoir inférieur ou supérieur à
Pour un détecteur « lent » () :
On aura
Pour un détecteur « rapide » () :
Vibrations cohérentes
Définition :
C’est lorsque est indépendant de t ( séparément peuvent en dépendre). Ainsi, est indépendant de t.
Temps de cohérence :
Emission de trains d’onde :
Un atome excité va rayonner un champ électromagnétique amorti :
La durée caractéristique de rayonnement s’appelle le temps de cohérence.
On aura donc des trains d’onde :
(Le premier graphe représente le champ émis, décroissant, donc le champ reçu est maximal au début puis diminue)
Autre modèle :
En M :
Déphasage :
Donc pour la différence de phase :
Intensité détectée :
On a
Détecteur lent :
On a
Donc en moyenne
Détecteur rapide :
On a
Donc
Remarque :
La détection dépend de la source (), du détecteur ().
Pour les sources classiques (lampe), on a quel que soit le détecteur
Pour des lasers, on peut avoir (on a des grands trains d’onde)
Pour des ondes hertziennes : au choix (selon l’antenne émettrice)
Conclusion opérationnelle :
Si , alors les vibrations sont cohérentes pour le détecteur : on peut sommer les vibrations :
Donc (interférence)
Si , les vibrations ne sont pas cohérentes, et .
(pas d’interférence)
Figure d’interférence
Champ d’interférence : zone où les vibrations se superposent et où on est susceptible d’observer des interférences
Ordre d’interférence (en M)
On pose , ordre d’interférence.
Différence de marche (en M)
On pose .
Ainsi,
Et
Aspect corpusculaire des interférences
Dualité onde–corpuscule
On explique les interférences avec un aspect ondulatoire.
Comment les expliquer avec des flux de photons ?
(Les photons n’interagissent pas les uns avec les autres)
Point de vue quantique :
Un photon n’a de réalité physique qu’une fois qu’il a été détecté (On ne parle pas normalement de « flux de photons »)
Ce qui est important, c’est la probabilité dp qu’il soit dans un volume si on tente de le détecter dans ce volume.
Interprétation quantique des interférences
Les endroits où E est important sont là où on a la plus grande probabilité de trouver des photons :
Ainsi, ce sont les densités de probabilité qui interfèrent entre elles, et non les photons.
Sources lumineuses
Emission lumineuse
Sources classiques
Atome :
Pour un atome à deux niveaux d’énergie :
Une décharge électrique permet à un atome dans son état fondamental () d’être excité et atteindre . Il va ensuite se désexciter et émettre un photon.
Fréquence de vibration :
On a
Remarque :
Ce n’est pas tout à fait vrai :
Déjà, le rayonnement ne peut pas être monochromatique car il est de longueur finie
L’atome étant isolé, la quantité de mouvement de l’ensemble photon + atome ne change pas, et l’atome part donc en arrière. Ainsi, une partie de l’énergie sera laissée à l’atome.
Durée du train d’onde
Modèle statistique :
On considère une collection d’atomes excités, à l’instant .
A l’instant t, on note le nombre d’atomes restant.
Pendant dt, un atome a une probabilité de se désexciter.
Donc ( : nombre d’atomes qui se désexcitent pendant dt)
Ainsi,
Modèle de l’électron élastiquement lié :
D’après le principe fondamental de la dynamique,
Donc
On a donc l’équation caractéristique
De racines ()
Donc
Mais
Donc
Donc
On a donc la relation
Dans le modèle statistique, diminue avec le nombre de chocs entre atomes. Dans l’autre modèle, lorsqu’il y a des chocs, augmente.
Longueur de cohérence : on pose
Onde émise :
Les rayonnements émis par chaque atome sont indépendants les uns des autres. On aura donc un temps de cohérence très faible.
Donc quel que soit le détecteur, on aura toujours
On a donc une onde incohérente.
Sources laser
Désexcitation stimulée :
On suppose toujours que les atomes ont deux niveaux d’énergie.
On envoie des photons d’énergie
Si l’atome est dans l’état fondamental (), le photon a une certaine probabilité d’être absorbé :
Si l’atome est déjà dans l’état , il y a une probabilité pour que le photon soit absorbé et que l’atome se désexcite en émettant deux photons en même temps : on aura alors un train d’onde deux fois plus long
Inversion de population :
L’onde sortante sera amortie si il y a plus de (1) que (2) qui se produisent, et amplifiée sinon.
On peut montrer que la condition d’amplification est , où est le nombre d’atomes excités par unité de volume, le nombre d’atomes non excités.
A l’équilibre thermodynamique,
Il faut donc faire en sorte d’inverser la population.
Pompage optique :
On suppose cette fois que les atomes ont trois niveaux d’énergie :
Cavité résonnante :
Modes propres d’une cavité :
Ondes stationnaires :
On a une onde sinusoïdale, avec un nœud en et
On doit avoir , où
Puis ()
Autre point de vue : onde progressive :
On a un déphasage
Donc pour une interférence constructive, il faut
Donc
Cavité laser :
Ondes sinusoïdales : on a un nœud en , et un quasi-nœud en , donc E peut sortir.
Ondes progressives :
Si on a réussi à inverser la population d’atomes excités et non excités, le photon a plus de chance de « recevoir » d’autres photons au cours d’un aller-retour que de sortir par le miroir : lorsqu’ils sortent, il y a environ photons ensembles. On a donc des grands trains d’onde.
Résumé :
Cavité : oscillateur avec des fréquences propres
Pompe : oscillations divergentes dans la cavité
Une perturbation dans la cavité fait naître une oscillation divergente (la cavité doit être accordée à la fréquence correspondant à la désexcitation)
On a des fuites permettant à l’onde de sortir.
Propriétés du rayonnement laser :
Les trains d’onde sont non seulement très longs, mais aussi très larges (de l’ordre du millimètre)
Temps de cohérence élevé :
On a , et
Donc
, donc , très faible. On a donc une onde quasiment monochromatique :
(pour )
On peut mesurer des interférences (pas avec les yeux)
On a , , donc on a aussi une très bonne directivité (le faisceau diverge peu)
(LASER : Light Amplification of Stimulated Emission of Radiation)
Largeur spectrale d’une source
Si , désigne la pulsation/la fréquence centrale, on a une largeur , autour de cette fréquence.
Distribution d’intensité spectrale
On note , où est l’intensité correspondant à une fréquence comprise entre et ( : densité spectrale d’intensité)
On a
Monochromaticité :
Comment définir la monochromaticité ? par ?
Il est plus pertinent de prendre (finesse)
Source monochromatique :
On aurait
Résolution du profil spectral :
la résolution de l’appareil de mesure, c'est-à-dire la plus petite variation de fréquence donnant lieu à une différence du signal de sortie.
Pour voir le profil spectral, il faut donc que
Origine de la largeur spectrale
Largeur naturelle :
L’état excité d’un atome a une durée de vie finie, et
Donc
Ordres de grandeur (pour des sources classiques) :
Pour , ()
A pression réduite : on peut atteindre
Distribution lorentzienne :
On peut montrer que lorsqu’on a uniquement une largeur naturelle, on a
On a une courbe symétrique
Donc , et
Ainsi,
Largeur Doppler :
Elle est liée à l’effet Doppler
Atome immobile dans (R) :
Atome en mouvement dans (R) :
Avec
Agitation thermique :
Probabilité d’une vitesse :
Distribution gaussienne :
On a
La courbe est toujours symétrique par rapport à .
On a un résultat proche de la largeur naturelle.
; : ½ largeur lorsque
(indépendant de P)
Pour , , on a
Largeur totale :
On admet (valable de façon approchée) que
A température et pression ordinaires,
(On a , )
A très faible pression, (ou )
A très faible température,
Temps et longueur de cohérence
On pose ,
Cohérence temporelle
Obtention d’ondes cohérentes
Principe
On cherche à avoir indépendant de t (sur un temps au moins supérieur au temps de détection)
Moyen : on part d’une seule source dont on a divisé les trains d’onde.
Division du front d’onde
Trous d’Young :
1er train :
En S :
En M : venant de :
venant de :
2ème train :
En S :
En M : venant de : et
venant de :
Ainsi,
Division d’amplitude
Limite imposée par la cohérence temporelle
Pour un train d’onde de longueur , il faut qu’à l’arrivée les trains d’onde divisés aient au moins une petite partie commune, c'est-à-dire qu’on doit avoir ( : écart entre les trains d’onde à l’arrivée)
Cohérence spatiale. Localisation des franges
Cohérence spatiale
Exemple préliminaire
Amplitude reçue en M :
De S :
De S’ :
Intensité en M :
S et S’ émettent de façon incohérente l’un avec l’autre.
Donc , où ,
Superposition des figures d’interférence :
Si les deux systèmes sont « bien » décalés, on aura une figure d’interférence encore plus lumineuse
Si les creux de l’un correspondent aux maxima de l’autre, on obtiendra une surface uniformément éclairée (lorsque les deux ont la même amplitude)
Cas général
Problème de la cohérence spatiale : quelle largeur peut-on donner à la source ?
Condition de cohérence spatiale
Condition rigoureuse :
En M de S : on a un déphasage , indépendant de t (si S est une source cohérente)
En M de S’ : le déphasage est , indépendant de t.
Ainsi, il faut avoir (pas modulo , car il faut qu’on ait aussi l’égalité si on place des sources intermédiaires entre S et S’)
C'est-à-dire
Pour S assez proche de S’, on a , .
Le déphasage a deux causes : S n’est pas confondu avec S’ donc on a un premier déphasage , et il y a un déphasage de entre le train d’onde émis par S et celui émis par S’.
Pour , on aura de même un déphasage (c’est le même déphasage que pour puisque c’est le même train d’onde)
Ainsi, il faut que
C'est-à-dire (condition de cohérence spatiale)
Condition approchée :
Il faut avoir , c'est-à-dire
Dispositif par division d’onde
On divise les trains d’onde en deux, donc
Pour les trous d’Young :
Condition rigoureuse
On peut prendre sans problème une fente source orthogonale au plan de la feuille.
Condition approchée
On peut élargir la fente de façon à avoir toujours
On a
On doit donc avoir , soit . Et
On note , longueur de cohérence
Donc
Localisation des franges
(Les deux cônes en vert correspondent aux directions principales dans lesquelles est émise l’intensité diffractée)
: Champ d’interférence.
On a ainsi des interférences non localisées (on peut mettre l’écran n’importe où dans le champ d’interférence)
Dispositif par division d’amplitude
On a :
Source étendue
On a toujours , donc on peut prendre des sources plus larges.
Localisation des interférences
On n’aura des interférences qu’à l’infini (ou dans le plan focal d’une lentille).
Les interférences sont donc localisées à l’infini. On a donc une localisation unidimensionnelle.
Interférence bidimensionnelle :
Récapitulatif :
Pour une division :
Du front d’onde Fente fine Non localisée
D’amplitude Source étendue Localisée
