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Energie électrostatique
Objectif :
Energie propre du système : énergie potentielle des forces intérieures
Energie d’interaction avec l’extérieur : énergie potentielle des forces extérieures.
Energie propre d’un système de charges électrostatiques
Système de deux charges ponctuelles
On prend le système constitué de et .
On a deux forces intérieures : ,
On a un travail électrostatique
Soit
On a donc une énergie potentielle (à une constante additive près)
On a de plus , donc
Système de plusieurs charges ponctuelles
On note . On a alors
Donc
Soit . (Les potentiels ont été comptés deux fois)
Conducteur seul dans l’espace
On considère un conducteur, de charge Q et de potentiel V.
Méthode 1
On fractionne la charge en charges élémentaires :
Méthode 2
Principe :
On a .
On prend initialement le conducteur non chargé, et on apporte de l’infini des charges pour le charger.
Ainsi, , ou (en prenant un potentiel nul à l’infini)
Ainsi, q varie de 0 à Q, v de 0 à V.
On travaille quasi-statiquement, et on néglige l’influence de sur le conducteur.
Ainsi, on peut considérer que le conducteur est seul dans l’espace et .
Si on note pour (paramètre de charge), on aura .
On a
Donc
Soit
Il y a aussi des forces électrostatiques des charges entre elles, mais elles ne travaillent pas lorsque ces charges se déplacent : les charges vont se déplacer sur la surface, et sur cette surface le champ est normal à la surface, donc au déplacement.
Ainsi,
Système de conducteurs seuls dans l’espace
On aura de même pour un système de conducteurs .
On peut aussi appliquer la deuxième méthode pour le montrer, en prenant le même paramètre de charge pour tous les conducteurs.
Condensateur
On a
On définit l’énergie potentielle pour un condensateur :
Il y a une énergie potentielle d’interaction entre les charges intérieures et extérieures :
Si on considère un conducteur avec la même forme mais plein, on aurait , et donc ici , donc il n’y a globalement pas d’énergie potentielle d’interaction
(Il y a quand même séparément pour les charges et des énergies potentielles d’interaction avec l’extérieur)
Energie d’interaction de deux systèmes électrostatiques
On considère ici ,
Exemple
Pour le système constitué de et :
Soit en regroupant :
Avec ,
Et
Ou
Energie d’une charge ponctuelle dans un potentiel extérieur
On note V le potentiel créé par les charges dans .
Méthode 1
On a
Soit
Méthode 2
Energie d’un dipôle dans un champ extérieur
Dipôle permanent
On suppose qu’on connaît le champ créé par , et qu’on a
Expression de .
On a
Soit
Actions sur le dipôle
Résultante :
Pour une petite translation du dipôle,
Donc
Moment :
Pour une petite rotation du dipôle :
(rotation d’axe où O est le centre du dipôle)
Donc
Au cours de la rotation, ne varie pas.
Donc
On a (mouvement de précession)
Donc
Et
Donc
Remarque :
Pour un mouvement quelconque,
Bilan énergétique
On a
(On travaille quasi statiquement donc il n’y a pas d’énergie cinétique, et on suppose que ne change pas)
Dipôle induit
Polarisabilité
On suppose que
Actions sur le dipôle
Résultante :
Moment :
On a
Energie potentielle
Définition : on pose , énergie potentielle du dipôle induit dans le champ .
Remarque :
Pour un dipôle permanent, on avait
Pour un dipôle induit,
Problème :
On considère le cas suivant :
Quelle est l’énergie potentielle du dipôle ? Autrement dit, à quel dipôle a-t-on à faire ici ?
L’état électrostatique est en effet le même dans les deux cas.
En fait, il faut retenir que c’est la variation d’énergie potentielle qui a un sens physique, et il faut donc faire une transformation sur le système pour savoir si le dipôle est induit ( reste alors colinéaire à ) ou s’il est permanent ().
Bilan énergétique
On a :
Donc
Comme ,
On a
(On peut montrer ce résultat autrement, en modélisant le dipôle par un ressort )
Localisation de l’énergie
Cas d’un condensateur plan
On a , et
Donc
correspond ainsi en quelque sorte à une densité volumique d’énergie.
Postulat
Pour une masse ponctuelle animée d’une vitesse v, on considère que son énergie cinétique est localisée sur la particule qu’en est il par exemple pour un système de deux charges électriques ?
Postulat :
De l’énergie électrostatique est présente partout où il y a du champ électrique (correspond à une « énergie du vide »)
Un volume élémentaire a une énergie où .
Exemple : conducteur sphérique
Si ,
Si ,
On a , et Donc
Et le même calcul avec le postulat :
Energie propre et énergie d’interaction de deux systèmes , .
On a
Donc
Energie d’un ensemble de charges ponctuelles
Paradoxe :
Si on prend un ensemble de charges , on a :
Mais d’autre part
Levée du paradoxe :
Dans la deuxième formule, on a même , car le champ est divergent sur les charges ponctuelles.
En fait, la deuxième formule ajoute une « constante » infinie, à savoir l’énergie propre de chaque charge ponctuelle, d’où le fait qu’elle est toujours positive.
Lorsqu’on calcule une différence de potentiel, cette constante n’intervient plus.
Actions électrostatiques sur un conducteur : calcul par le théorème des travaux virtuels
Principe
On a une pression électrostatique qui s’exerce sur le conducteur, qui n’est pas forcément nulle.
On cherche à savoir la force s’exerçant sur le dipôle.
Pour cela, on imagine un petit déplacement, et on regarde le travail qu’il faut alors fournir.
Déplacement virtuel à charges constantes
On maintient tous les autres conducteurs fixes, et tous les conducteurs gardent une charge constante.
Exemple :
Le déplacement de 2 ne se fera pas à charge constante pour le conducteur 1, puisque lorsque 2 va bouger, le potentiel va changer et il y aura un échange de charge. 3 et 2 resteront eux à charge constante.
Bilan énergétique :
On a
Où est le travail du torseur des actions s’exerçant sur le conducteur.
Donc .
Résultante :
Pour une translation de dx le long de Ox :
, donc , ou
Moment :
Pour une rotation autour de :
Donc
Déplacement à potentiels constants
On suppose ici que tous les potentiels restent constants dans chaque conducteur. (la charge peut varier)
Bilan :
Il faut prendre ici en compte le travail des générateurs pour maintenir le potentiel :
On a . Donc
Et , soit
D’où
Résultante :
Moment :
Discussion
La relation est toujours valable (c’est la définition de ), et prend en compte le travail de toutes les forces électrostatiques.
Pour un déplacement à charges constantes, se réduit au travail de la force qu’on veut calculer (), puisque les charges qui se déplacent dans les conducteurs on un mouvement orthogonal aux forces s’exerçant sur elles.
A potentiel constant, devient le travail des forces à calculer plus celui dû à l’ajout de charges par le générateur.
Application
Force exercée sur une armature d’un condensateur plan
On cherche la force exercée sur l’armature 2.
Pression électrostatique :
On a
Donc
Déplacement virtuel à charge constante :
On déplace 2 en gardant 1 fixe :
, et
On retrouve alors
Déplacement virtuel à potentiels constants :
On a . Mais ici, ,
Donc , et
Compléments
Hémisphères de Cavendish
On charge la boule au potentiel
On retire ensuite le générateur, et on place autour de la boule deux hémisphères conducteurs (appelés hémisphères de Cavendish) :
Et on charge les deux hémisphères jusqu’au potentiel .
Ensuite, on les démonte et on les remonte à une distance infinie de la boule.
Potentiels
Etat initial :
On a
Et , .
Après avoir chargé les hémisphères et retiré le générateur :
On a
Etat final :
La boule est de nouveau isolée, donc a un potentiel
Pour les deux hémisphères :
On a (théorème de Gauss)
Et donc
Travail de l’opérateur
Lorsque l’opérateur réalise le démontage et remontage des hémisphères, il n’y a plus de générateurs.
Donc
On a
Et
Donc après calcul :
Remarque :
Selon le potentiel imposé, on peut avoir un travail moteur ou résistant.
Sphère entourée de deux hémisphères
On amène les deux hémisphères jusqu’à la sphère, de façon à l’entourer, de plusieurs façons différentes.
Sphère et hémisphères isolés
Travail de l’opérateur :
On a , avec
Initialement :
Finalement :
Le conducteur intérieur est toujours isolé, donc la charge Q reste constante.
Ainsi, à l’intérieur des hémisphères, on a une charge –Q, et à l’extérieur une charge Q.
En faisant le calcul au centre, on obtient dans l’état final un potentiel pour la sphère :
Pour les hémisphères, l’énergie est globalement nulle ()
On a donc une énergie dans l’état final :
Et on doit donc fournir un travail (résistant)
Force entre les armatures dans l’état final :
Force de pression : par symétrie, c’est la même que sur la surface projetée sur le plan en pointillés :
On a donc une force globalement attractive.
Sphère maintenue au potentiel V0, hémisphères isolés
On a
Dans l’état initial,
Dans l’état final,
Où est la charge portée par la sphère
De plus,
D’où on tire …
Sphère maintenue au potentiel V0, hémisphères au potentiel nul
On a
:
A l’extérieur, on a un problème de Dirichlet, dont la solution est
Il n’y a donc pas de charges à l’extérieur.
Donc
De plus, (calcul au centre)
D’où ensuite , …
Pour les générateurs, on a ,
