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Condensateurs Définitions Condensateur Définition C’est un ensemble de deux conducteurs en influence totale (c'est-à-dire que toute ligne de champ d’un des conducteurs aboutit sur l’autre) Réalisation Théorique : Pratique : On a des effets de bord : On peut les minimiser en prenant (d : distance caractéristique de la plaque), ou faire un anneau de garde : Cela permet en quelque sorte de prolonger le condensateur, et ainsi les effets de bord ne se feront sentir qu’à un endroit où ce n’est plus gênant. Capacité Définition Pour la surface en pointillés rouge, on a . Donc Et  ; C : capacité du condensateur. (Même démonstration que dans le chapitre précédent en remplaçant par ) Propriétés Unité : Farad. C’est une caractéristique géométrique. La valeur de C est positive. Condensation des charges Intérêt du condensateur Avec un conducteur seul dans l’espace On part du conducteur non chargé. On apporte une première charge. La deuxième : plus dur car repoussée par la première. La troisième : encore plus dur… Quand le condensateur est chargé, on a , Avec , , on obtient , ce qui est très faible. Avec un condensateur C’est moins difficile de le charger, lorsque les plaques sont proches. On a (montré après) Donc Q augmente beaucoup plus lorsque est assez petit. Augmentation de C. On peut augmenter C en : - Diminuant l’écart entre les conducteurs - Augmentant la surface - Mettant un milieu diélectrique () Association de condensateurs Parallèle On a , Donc Donc l’association en parallèle de deux condensateurs équivaut à un condensateur unique de capacité la somme des deux autres. Série On a , Donc comme , Dans l’espace entouré, sous l’hypothèse que la charge totale est nulle, et en supposant aussi que la charge est portée essentiellement par les deux armatures, on a alors , et donc : Soit . Remarque : Condensateurs usuels Condensateur plan - On fait en sorte de pouvoir négliger les effets de bord (anneau de garde…) - Ainsi, V ne dépend que de z. Le champ est uniforme : . Comme , on a . D’où - On a Donc Soit Donc Condensateur sphérique Par symétrie sphérique, V ne dépend que de r. Donc (en utilisant le théorème de Gauss) On a Donc , soit Donc Remarque : Si , on a et on retrouve un condensateur plan Condensateur cylindrique On fait aussi en sorte de pouvoir négliger les effets de bords. Par symétrie de révolution et invariance par translation verticale, V ne dépend que de r (des coordonnées cylindriques) Donc On a Donc , soit Donc Si avec , on a Donc ici encore Compléments Condensateur plan–conique Méthode 1 Potentiel : Déjà, par symétrie de révolution, V ne dépend pas de (on se place en coordonnées sphériques) On admet que V ne dépend pas non plus de r, c'est-à-dire que les équipotentielles sont des cônes de révolution. Ceci est assez naturel, puisque c’est déjà vrai pour un angle de et un angle de , et on voit mal comment les équipotentielles pourraient varier autrement. Cette hypothèse sera validée par le résultat, montré dans la méthode 2, sans faire cette hypothèse. Champ : On a ( dépend de r) On prend un tube de champ s’appuyant sur un cerceau partant du plan, centré en 0, et finissant à l’angle () : (On prend le début de la surface légèrement en dessous du plan, pour contenir des charges) On a, d’après le théorème de Gauss : (Le flux est nul partout sauf en haut) Donc Circulation de  : Soit Donc Soit On a ainsi Donc ( car ) Méthode 2 On note le potentiel du plan, celui du cône. Alors : Ici, toujours par symétrie, V est indépendant de (mais on n’admet plus que V ne dépend pas de r) On cherche une solution par séparation des variables : On trouve alors une solution vérifiant , qui est la seule possible d’après Dirichlet. Résistance de fuite d’un condensateur sphérique Au lieu d’avoir du vide entre les deux conducteurs, on met un milieu diélectrique. Ainsi, on a une meilleure capacité. Diélectrique parfait Définition de C : On pose Expression de C : , Donc on a la même chose que dans le vide en remplaçant par On n’a donc pas à tenir compte de la polarisation pour calculer la capacité C du condensateur (mais il faut mettre ). Résistance de fuite A part le vide, tout matériau est, même légèrement, conducteur. On a donc quand même une petite conductivité  : A l’instant initial, , On peut modéliser le milieu par une résistance : On cherche la résistance r, appelée résistance de fuite. Stratégie : On va utiliser la loi d’Ohm (locale) : Champ électrique : - n’est pas un champ électrostatique. - On a - D’après le théorème de Gauss, (les charges dans le diélectrique sont prises en compte par ) Donc (correspond à l’approximation des régimes quasi permanents : ARPQ) Tension : Intensité : Résistance : On a Donc , ou Ce résultat s’applique à n’importe quel condensateur. Décharge du condensateur On a , et . Donc Ou , donc  ; le condensateur se décharge avec une constante de temps . Condensateur diédrique Equipotentielles Par symétrie, le plan médiateur est un plan équipotentiel. Puis par dichotomie, tout plan équi- est une équipotentielle. Donc Champ On a Théorème de Gauss : On n’a du flux qu’à travers le couvercle : Donc Donc Capacité On a Donc , soit Puis