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Autoinduction induction mutuelle.docx

Uploaded: 6 years ago
Contributor: JoshSchnapp
Category: Electromagnetic Theory
Type: Other
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Autoinduction, induction mutuelle Autoinduction Flux propre On a Remarque : Quand on veut calculer , on obtient des intégrales divergentes (On oublie ce problème pour l’instant, mais on verra plus tard comment le régler) Autoinductance Définition On a Et On peut sortir I de l’intégrale, et noter Propriétés S’exprime en Henry ; ainsi, s’exprime en On verra plus tard que Et L ne dépend pas du matériau considéré, mais seulement de sa géométrie (on le voit sur la formule précédente, quand on sort le I) Augmentation de L. Avec un barreau ferromagnétique : Le courant i va créer un champ , qui va être augmenté à cause du barreau. On aura alors un flux propre plus important, et une inductance L qui augmente aussi. Mais on aura alors , c'est-à-dire que la variation avec i ne sera plus linéaire (il faut aussi que le barreau puisse s’aimanter et se désaimanter facilement, par exemple avec du fer doux) Avec un bobinage : Pour N spires, L sera multiplié par . Exemple Solénoïde infini : Pour une spire, Pour spires, Bobine torique de section rectangulaire : Symétries : On considère que le problème est invariant par rotation (c'est-à-dire qu’on a un bobinage très serré) Tout plan contenant z est de symétrie pour les courants. Donc Théorème d’Ampère : On a Donc Flux à travers une spire : On a Donc Coefficient L : On a donc . Force électromotrice d’autoinduction Cas général Si varie, on aura une fem d’autoinduction . Comme , . On peut donc avoir une fem d’autoinduction lorsque la géométrie du circuit varie ou lorsque l’intensité varie. Pour un circuit indéformable On a alors , et donc Remarque : Le signe négatif traduit la loi de Lenz. Si est très important (quand on coupe avec un interrupteur), on aura un champ électromoteur très intense, et on peut parfois observer au niveau de l’interrupteur des étincelles, indiquant une ionisation des molécules de l’air. Energie Energie magnétique propre d’un circuit On a soit . Remarque : On a donc Ce résultat est valable aussi en ARQP. Déformation d’un circuit à intensité constante Travail des forces de Laplace dues à  : Bilan énergétique : On a ( : pour maintenir I) On a Et , où est opposé à la fem induite, c'est-à-dire . Donc . Enfin, Donc Puis Application : On a à l’intérieur un champ Qualitativement, la règle du maximal indique que le solénoïde a tendance à se contracter (pour que n augmente) On peut montrer, en faisant un bilan énergétique sur un petit déplacement, que pour empêcher cette contraction il faut exercer une force Autoinductance d’un circuit non filiforme Exemple préliminaire On cherche l’autoinductance par unité de longueur. Schématisation linéique : On a Donc pour une petite bande à l’abscisse x, Donc On a une intégrale divergente… Schématisation volumique : Problème : On ne peut pas savoir quel contour prendre pour calculer le flux… Cas général Dans un circuit filiforme, on obtiendra toujours des intégrales divergentes, puisque diverge au voisinage de la répartition. (Pour le calcul fait avec le solénoïde et le tore, on était en fait passé en schématisation surfacique…) Définition à partir de l’énergie On a On pose alors  : Comme B est proportionnel à I, est bien proportionnel à . Ainsi, par définition, . Exemple Solénoïde infini : On a Câble coaxial : On a , Calcul de  : On a déjà par symétrie Pour , Pour , , donc Pour , . On a ainsi Autoinductance linéique : On a pour la portion de coaxial Donc Capacité linéique : Pour un condensateur cylindrique, on avait , donc Propagation dans un coaxial : On avait vu pour les ondes que en supposant la ligne parfaite (,), i et u vérifiaient l’équation différentielle Et on a maintenant Remarque : Ceci est valable pour toute ligne bifilaire. On a appliqué la loi des nœuds, donc on est nécessairement en ARQP magnétique (pour la portion de coaxial) Induction mutuelle Inductance mutuelle (ou « mutuelle ») Définition On a Donc Et Ainsi, On définit les coefficients d’induction mutuelle : Formule de Neumann On a : Et on reconnaît donc Propriétés Par symétrie, on a M peut être positif ou négatif, en fonction de l’orientation choisie des circuits. M dépend de la forme de chacun des circuits et de la distance entre eux. Théorème de réciprocité On a ainsi . Exemple 1 : On veut calculer le flux envoyé par la spire dans le solénoïde. Il faut déjà connaître le champ créé par la spire (pas facile en dehors de l’axe…) Une fois qu’on y est arrivé, il faut ensuite calculer le flux à travers chaque spire du solénoïde… Mais avec le théorème : On a . Donc . Exemple 2 : On cherche le flux envoyé par l’aimant dans le disque. Méthode 1 : On a … Méthode 2, plus astucieuse : On prend plutôt comme surface une calotte sphérique centrée en O et contenant le cercle : Cette fois, la composante de selon est rasante, et on a donc (Pour une petite languette d’angle constant) Et donc Méthode 3 : avec le théorème : On remplace l’aimant par une boucle de courant : On imagine de plus que le cercle est une spire parcourue par un courant Ainsi, Aspect énergétique Energie d’interaction entre deux circuits On a Remarque : on a Donc on retrouve les termes d’énergie propre de chaque circuit, et l’énergie d’interaction . Conséquence sur M. On a Donc on a une forme quadratique définie–positive. Donc , et Force électromotrice d’induction Loi d’Ohm On a avec Donc Et de même Bilan énergétique On a en multipliant par  : On reconnaît , , qui n’est pas une différentielle totale, (pas d’énergie stockée) Et , énergie potentielle. Ce terme représente une énergie stockée (et disponible). Mais le troisième terme n’est pas une différentielle totale et représente pourtant une énergie potentielle (stockée dans les deux bobines). On fait le bilan énergétique dans le deuxième circuit : Et en considérant le bilan total des deux circuits, on trouve une différentielle totale . Transformateur Principe : Loi des mailles : En circuit ouvert, Donc Dans l’autre maille : Et donc En complexe, et Donc On suppose que Ainsi, On a donc fait apparaître aux bornes du circuit une tension sinusoïdale proportionnelle à et dont le rapport peut être choisi. Remarque : Le premier circuit consomme quand même de l’énergie si le circuit reste ouvert. Les résultats sont modifiés si le deuxième circuit n’est plus ouvert. Aspect technologique : On suppose que , (et donc que les deux bobines ont la même longueur) Ainsi, , donc Et , donc Ainsi, selon les branchements, la tension sera multipliée par deux ou divisée par deux. On peut mettre un noyau de fer doux pour limiter l’influence de la charge d’un côté sur l’autre. Perte de puissance : Par effet joule (« perte cuivre ») Par hystérésis : les particules aimantées du fer doux gardent parfois une orientation privilégiée, et donc l’énergie utilisée pour les mettre dans cette position est perdue (« perte fer ») Application du transformateur : Pour calculer la tension aux bornes de 1 ou 3, on n’a pas trop de difficulté. Mais si on branche directement 2 aux bornes de l’oscilloscope, on aura en quelque sorte un court–circuit. Pour l’éviter, on intercale un transformateur (de rapport 1) entre le dipôle et l’oscilloscope.

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