Medianes gravite.docx

Fiche démonstration Droites Remarquables : Médianes 4e Soit un triangle ABC, et les points A’ et B’ les milieux respectifs des côtés [BC] et [AC]. Les droites (AA’) et (BB’) se coupent au point G. Soit E le symétrique de G par rapport à A’. 1) Démontrer que le quadrilatère BGCE est un parallélogramme. En déduire que les droites (GB’) et(EC) sont parallèles. On sait que A’ est le milieu de [BC] dans le triangle ABC. On sait aussi que E est le symétrique de G par rapport à A’, donc A’ est le milieu de [EG]. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc BGCE est un parallélogramme. Ses côtés opposés sont parallèles, en particulier : (BG) // (EC) et comme B, G et B’ sont alignés : (GB’) // (EC). De plus : (CG) // (BE) 2) Démontrer que le point G est le milieu du segment [AE]. Dans le triangle ACE, on a : B’ milieu de [AC] et (B’G) // (EC), avec G’ ? [AE] Or, dans un triangle, si une droite passant par le milieu d’un côté est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Donc G est le milieu de [AE]. 3) On appelle C’ le point d’intersection des droites (AB) et (CG). Démontrer que C’ est le milieu du segment [AB]. Dans le triangle ABE, on sait que G est le milieu de [AE] et que (CG) est parallèle à (BE) et coupe [AB] en C’. Dans un triangle, si une droite passant par le milieu d’un côté est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Donc C’ est le milieu de [AB]. La droite (CC’) est donc une médiane du triangle ABC. 4) Conclusion Les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont les médianes du triangle ABC et sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle. 5) Démontrer que AG = AA’ On a montré que G est le milieu de [AE] et que A’ est le milieu de [GE]. Donc on peut écrire : AE = 2×EG et GE = 2×A’G AA’ = AE ? EA’ = 2×EG ? A’G = 4×A’G ? A’G = 3×A’G Et comme AG = GE = 2×A’G, alors A’G = AG D’où AA’ = 3×AG Soit AG = AA’