Hauteurs orthocentre.docx

Fiche démonstration Droites Remarquables : Hauteurs 4e 2554605132080Données : ABC triangle (DF) // (BC) (EF) // (AB) (DE) // (AC) (BH) est une hauteur du triangle ABC 00Données : ABC triangle (DF) // (BC) (EF) // (AB) (DE) // (AC) (BH) est une hauteur du triangle ABC Montrer que B est le milieu de [DE] BECA et DBCA sont des parallélogrammes car ils ont leurs côtés parallèles deux à deux. Dans un parallélogramme; les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Donc (BD) et (BE) sont parallèles à la même droite (AC) ; les points B; D et E sont alignés. De plus; les longueurs BD et BE sont égales car elles sont toutes les deux égales à la même longueur AC. Conclusion : B est le milieu de [DE] Montrer que (BH) est la médiatrice de [DE] B est le milieu de [DE] ; et par construction ; (BH) (AC) ; or (AC) // (DE) donc (BH) est perpendiculaire à [DE] en son milieu. C’est donc la médiatrice de [DE] De la même manière; on montre que les deux autres hauteurs dans ABC sont les deux autres médiatrices dans DEF. Le raisonnement est tout à fait analogue. Conclure. Les trois hauteurs du triangle ABC sont les trois médiatrices de DEF. Or on sait que les trois médiatrices dans un triangle sont concourantes. Donc les trois hauteurs le sont aussi.