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Fiche démonstration Angles Orientés 1ère S
Théorème :
Quels que soient les vecteurs non nuls , et :
+= [2?]
Démonstration :
D’après la définition, les mesures de l’angle orienté sont les mesures de l’angle orienté où et sont les vecteurs unitaires associés à et :
= [2?] avec = et =
Cette définition permet de supposer les vecteurs unitaires.
Soit alors A, B et C les points de C tels que =, = et = et a, b, c leurs abscisses curvilignes.
Par définition : ?=b-a ; ?=c-b et ?=c-a sont des mesures respectives de , et .
Comme ?+?=?, la démonstration est finie.
Conséquences :
Soit et deux vecteurs non nuls. On a :
=- [2?]
=+? [2?] et =+? [2?]
= [2?], pour tout réel ? non nul.
Démonstration :
D’après la relation de Chasles, += [2?].
Comme =0 [2?], il en découle =- [2?].
Nous avons += [2?] (relation de Chasles).
Avec =? [2?], on obtient =+? [2?].
D’après ce qui précède, =+? [2?]
et =+? [2?], en découle = [2?]
Théorème : angles orientés et réflexions
Une réflexion change un angle orienté en son opposé.
Soit A le point du cercle trigonométrique C associé au réel ?.
Par la réflexion d’axe (OA), le point M de C associé à un réel x a pour image le point M’ de C associé au réel x? tel que x+x?=2? [2?].
Démonstration
Par la réflexion S d’axe (OA), on a S(O)=O, S(A)=A et soit M’ le point S(M).
L’angle est donc changé par S en .
Comme une réflexion change un angle en son opposé :
=- [2?].
Avec : =x??? [2?] et =x?? [2?]
On obtient x’-a=-(x-a) [2?], soit x+x’=2? [2?].
Théorème : projeté orthogonal d’un vecteur
Soit un vecteur unitaire et un vecteur quelconque non nul/
Le projeté orthogonal de sur est tel que :
=.
Démonstration :
Fixons un point O et introduisons les points I et A tels que = et =.
337248516002000Soit H le projeté orthogonal de A sur la droite (OI).
Alors, par définition, = est le projeté orthogonal de sur et le théorème énonce que :
=(OA×cos?) avec ?=.
