Transcript
Système de deux particules
Notation, définitions
Système de deux particules dans (R)
Soit
Soient deux particules de masse et de masse .
On note :
,
,
,
Centre d’inertie du système de deux particules
G : barycentre – ou centre d’inertie – de masse de est défini par :
ou
Quantité de mouvement du système
Définition :
D’où
Donc coïncide avec la quantité de mouvement de G, barycentre du système, affecté de la masse totale
Moment cinétique du système
Soit A un point quelconque de l’espace.
Définition :
Moment cinétique en A du système :
Soit alors A’ un autre point de l’espace. On a :
Donc
Energie cinétique du système
Définition :
Référentiel barycentrique
Définition
Le référentiel barycentrique (B*) est défini par :
Ainsi, (B*) est en translation par rapport à (R).
Grandeurs cinématiques dans (B*)
,
,
Remarque : pour une translation, on a pour tout vecteur .
Ainsi :
(et de même pour )
Quantité de mouvement du système dans (B*)
Moment cinétique du système dans (B*)
Soit A un point de l’espace. On a :
Pour un autre point A’ :
Ainsi, le moment cinétique du système est indépendant du point d’application. Il est noté , moment cinétique du système dans (B*).
On a :
Donc
1ère formule de Koenig :
Soit A un point de l’espace. On a :
Energie cinétique du système dans (B*)
On a :
Donc :
D’où la deuxième formule de Koenig :
Application des théorèmes de la dynamique au système
Présentation du problème
On suppose (R) galiléen.
Soit soumis à (forces extérieures au système) et notée exercée par sur .
Soit soumis à (forces extérieures au système) et notée .
On suppose de plus ici que et obéissent à la version forte de la loi de l’action et de la réaction, c'est-à-dire : (version faible, toujours vraie) et .
On suppose enfin que ne dépend que de r avec .
Ainsi, en notant , on pose (et )
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M1 et M2.
Dans (R) galiléen :
et
D’où, en sommant :
Donc
(Théorème de la résultant cinétique).
Les forces intérieures n’interviennent pas. C’est comme si G de masse était soumis à .
Théorème du moment cinétique
O est fixe dans (R) galiléen.
Le théorème du moment cinétique appliqué en O à dans (R) donne :
et à : .
D’où :
Or,
Donc
Théorème de l’énergie cinétique
Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à dans (R) donne :
et à :
Donc
Pour un système rigide :
Donc ;
Donc .
Les forces intérieures ne travaillent pas dans un système rigide.
Energie potentielle d’interaction
et
On définit (à une constante additive près) par (on suppose F intégrable)
Ainsi, ou
est l’énergie potentielle d’interaction entre les deux particules.
Par exemple, pour la force gravitationnelle :
D’après le théorème de l’énergie cinétique, on a :
Donc
Or,
Donc
Donc , soit .
Ou alors, d’après la deuxième formule de Koenig :
(On retrouve le premier principe de la thermodynamique, en ayant regroupé et sous )
Système isolé de deux particules
On reprend les conditions du paragraphe précédent, en considérant que .
(Ainsi, le système est isolé)
Théorème de la résultante cinétique
Théorème de la résultant cinétique appliqué au système :
Donc . Donc G décrit un mouvement rectiligne uniforme :
Donc (B*) est aussi galiléen (lorsque le système est isolé)
Réduction du problème à deux corps – mobile fictif
On définit le vecteur position relative de par rapport à :
.
On définit un point M, mobile fictif ou réduit par :
On a :
Et
Quantité de mouvement de dans (B*) :
On pose : masse réduite/ masse du mobile fictif
Ainsi, s’apparente à la quantité de mouvement de dans (B*).
Moment cinétique barycentrique :
Or, car
Donc
(moment cinétique du mobile fictif dans (B*))
Mouvement du mobile fictif
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à dans (B*) galiléen :
et avec et
Donc
Donc est soumis à une force , centrale.
Le théorème des moments cinétiques appliqué au système dans (B*) galiléen en G fixe dans (B*) donne :
(on travaille dans un système isolé)
Donc
Donc M décrit un mouvement plan, qui obéit à la loi des aires.
Le théorème de l’énergie cinétique appliqué au système dans (B*) galiléen donne :
Donc , ou
Mouvement de M1 et M2 dans (B*)
et avec
Les trajectoires de et sont donc homothétiques de la trajectoire de M.
Application
On considère un système de deux masses et en interaction gravitationnelle. Par exemple :
Soleil, masse
Terre, masse
On suppose le système isolé. On note G le centre de masse de . On définit le mobile fictif par de masse . On note enfin .
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à dans (B*) galiléen :
Tout se passe donc comme si est soumis à la force gravitationnelle exercée par G de masse . Donc M décrit une ellipse de foyer G et obéit à la loi des aires. La troisième loi de Kepler donne alors : ( correspond à un terme correctif par rapport au résultat lorsque on fait l’approximation que le référentiel héliocentrique est galiléen).
Le mouvement de par rapport à est le même que celui de M par rapport à G.
Remarque : si on suppose
(exemple : )
Alors :
, d’où ou
, d’où
et :
, d’où
, d’où
