Transformations du plan.docx

I. Transformations 1. Translations Définition Soit un vecteur. La translation de vecteur , notée , est l’application qui à tout point M associe le point M’ tel que =. Remarques La translation de vecteur nul est l’identité : tous les points sont invariants, c’est-à-dire confondus avec leur image. Une translation de vecteur non nul n’a pas de point invariant. Propriété fondamentale Si M’ et N’ sont les images respectives de M et N par une translation alors =. 2. Rotations Définition Soient ? un point du plan et ? un nombre réel. La rotation de centre ? et d’angle ?, notée , est l’application du plan orienté qui laisse ? invariant et qui à tout point M distinct de ? associe le point M’ tel que ?M=?M? et =? (2?) Options;Nom:LeCadre;Fond:faux;Cadre:faux;xmin:42.75;ymin:435.75;xmax:242.75;ymax:535.75;MainLevee:faux;GrilleAimantee:faux;AfficheGrille:faux;echelleFigure:1;lGrille:1;hGrille:1|MultiPage1:0;TextBox16:O;OptionButton12:vrai;Label59:100:50;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-8:1.75;Label62:;Label63:;Label68:0;Label87:22.62742|MultiPage1:0;TextBox16:M;OptionButton38:vrai;TextBox70:3;TextBox69:O;TextBox71:0;TextBox72:libre;Label58:° avec;Label76:0;;Label122:11;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-1.75:12.5;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:24.0416305603426|MultiPage1:0;TextBox16:M';OptionButton19:vrai;TextBox25:M;ComboBox13:;ComboBox22:2;TextBox80:O;TextBox81:;TextBox82:30°;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-1:-6.25;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:1;TextBox1:[OM);Label72:0,0;OptionButton56:vrai;ComboBox26:demi-droite d'origine;TextBox107:O;TextBox108:M;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:0;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:48.08326|MultiPage1:1;TextBox1:[OM');Label72:0,0;OptionButton56:vrai;ComboBox26:demi-droite d'origine;TextBox107:O;TextBox108:M';;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:52.3259|MultiPage1:4;TextBox42:a1;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton30:vrai;TextBox51:O;TextBox52:MM';;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:4;TextBox42:a2;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton30:vrai;TextBox51:O;TextBox52:M'M;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:0;TextBox16:A;OptionButton12:vrai;Label59:196.75:37.25;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:faux;CheckBox8:vrai;Label60:1:-17;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:4;TextBox42:a3;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton29:vrai;TextBox49:O;TextBox50:A;TextBox48:15;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:4;TextBox42:a4;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton37:vrai;TextBox68:a2;ComboBox15:;TextBox119:;TextBox120:0,3;TextBox121:O;ComboBox30:3;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-1.75:-9.25;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742| ? M M' + ? Options;Nom:LeCadre;Fond:faux;Cadre:faux;xmin:42.75;ymin:435.75;xmax:242.75;ymax:535.75;MainLevee:faux;GrilleAimantee:faux;AfficheGrille:faux;echelleFigure:1;lGrille:1;hGrille:1|MultiPage1:0;TextBox16:O;OptionButton12:vrai;Label59:100:50;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-8:1.75;Label62:;Label63:;Label68:0;Label87:22.62742|MultiPage1:0;TextBox16:M;OptionButton38:vrai;TextBox70:3;TextBox69:O;TextBox71:0;TextBox72:libre;Label58:° avec;Label76:0;;Label122:11;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-1.75:12.5;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:24.0416305603426|MultiPage1:0;TextBox16:M';OptionButton19:vrai;TextBox25:M;ComboBox13:;ComboBox22:2;TextBox80:O;TextBox81:;TextBox82:30°;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-1:-6.25;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:1;TextBox1:[OM);Label72:0,0;OptionButton56:vrai;ComboBox26:demi-droite d'origine;TextBox107:O;TextBox108:M;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:0;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:48.08326|MultiPage1:1;TextBox1:[OM');Label72:0,0;OptionButton56:vrai;ComboBox26:demi-droite d'origine;TextBox107:O;TextBox108:M';;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:52.3259|MultiPage1:4;TextBox42:a1;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton30:vrai;TextBox51:O;TextBox52:MM';;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:4;TextBox42:a2;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton30:vrai;TextBox51:O;TextBox52:M'M;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:0;TextBox16:A;OptionButton12:vrai;Label59:196.75:37.25;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:vrai;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:faux;CheckBox8:vrai;Label60:1:-17;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:4;TextBox42:a3;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton29:vrai;TextBox49:O;TextBox50:A;TextBox48:15;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:faux;Label60:-10:-10;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742|MultiPage1:4;TextBox42:a4;OptionButton58:vrai;OptionButton59:faux;OptionButton60:faux;OptionButton37:vrai;TextBox68:a2;ComboBox15:;TextBox119:;TextBox120:0,3;TextBox121:O;ComboBox30:3;;Label122:;Image1.BackColor:0;Image1.ControlTipText:Continu 0.75 pt;CheckBox5:faux;Image5.BackColor:16777215;TextBox66:50;OptionButton39:faux;OptionButton40:faux;OptionButton49:faux;OptionButton50:faux;TextBox74:;CheckBox7:vrai;CheckBox8:vrai;Label60:-1.75:-9.25;Label62:;Label63:;Label68:;Label87:22.62742| ? M M' + ? Remarques Une rotation d’angle nul est l’identité : tous les points sont invariants. La rotation de centre ? et d’angle ? est la symétrie de centre ?. Une translation d’angle non nul admet un unique point invariant : son centre. Propriété fondamentale Si M’ et N’ sont les images respectives de M et N par une rotation d’angle ? alors M?N?=MN et =? (2?). 3. Homothéties Définition Soient O un point et k un réel non nul. L’homothétie de centre ? et de rapport k, notée , est la transformation qui à tout point M associe le point M’ tel que=k. k=2 k=-1 ,5 Remarques Une homothétie de rapport 1 est l’identité : tous les points sont invariants. L’homothétie de centre ? et de rapport -1 est la symétrie centrale de centre ?. Une homothétie de rapport différent de 1 admet un seul point invariant : son centre. Propriété Si M a pour image M’ par une homothétie de centre ? alors ?, M et M’ sont alignés. Propriété fondamentale Si M’ et N’ sont les images respectives de M et N par une homothétie de rapport k alors =k. k=2 k=-1 ,5 4. Transformations Les translations, rotations et homothéties associent à chaque point M un unique point M’ : ce sont des fonctions du plans. Réciproquement, par ces fonctions, tout point M’ est l’image d’un unique point M. Une telle fonction f du plan assurant cette correspondance « un à un » est appelée transformation. La transformation qui au point M?=f(M) associe M est appelée transformation réciproque de f . Propriété La transformation réciproque de la translation de vecteur est la translation de vecteur -. La transformation réciproque de la rotation de centre ? et d’angle ? est la rotation de centre ? et d’angle –?. La transformation réciproque de l’homothétie de centre ? et de rapport k est l’homothétie de centre ? et de rapport . II. Propriétés Conservation de l’alignement Les translations, rotations et homothéties conservent l’alignement : les images de trois points alignés sont trois points alignés. Conservation du barycentre Les translations, rotations et homothéties conservent le barycentre : si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors l’image G’ de G est le barycentre de (A’, a) et (B’, b) où A’ et B’ sont les images de A et B. Conservation des angles orientés Les translations, rotations et homothéties conservent les angles orientés : si A, B et C sont trois points deux à deux distincts d’images respectives A’, B’ et C’ f alors =. Effet sur les longueurs, les aires Les translations et les rotations conservent les longueurs et les aires. Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par et les aires par . III. Images d’une figure Image d’une droite L’image d’une droite d par une translation ou une homothétie est une droite d? parallèle à d. L’image d’une droite d par une rotation est une droite d?. Image d’un segment L’image d’un segment [AB] par une translation, une rotation ou une homothétie est le segment [A’B’] où A? et B? sont les images de A et B. Image d’un cercle L’image d’un cercle de centre A et de rayon R par une translation ou une rotation est le cercle de centre l’image de A et de rayon R. L’image d’un cercle de centre A et de rayon R par une homothétie de rapport k est le cercle de centre l’image de A et de rayon R.