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Statistiques Vocabulaire. La population étudiée est un ensemble faisant l’objet d’une étude statistique. Un élément de la population est appelé individu (ou unité statistique). Sur cette population, on observe une ou plusieurs caractéristiques appelées caractères et qui prennent différentes modalités. Un caractère est qualitatif si ses modalités ne sont pas numériques. (Ex : les couleurs) Un caractère est quantitatif si ses modalités s’expriment par un nombre. Si les valeurs sont regroupées en classes, on parle de caractère quantitatif continu (Ex : la taille); sinon on parle de caractère quantitatif discret (Ex : le nombre d’enfants par famille). Pour une classe [a ; b] : le centre de la classe est et l’amplitude est b – a. Le nombre d’individus de la population dont le caractère prend une modalité donnée est l’effectif ni. Le nombre d’individus de la population est l’effectif total N. La fréquence est le rapport . Représentations graphiques. Le diagramme circulaire est utilisé pour représenter une série dont le caractère est qualitatif. Le diagramme en bâtons est utilisé pour représenter une série dont le caractère est quantitatif discret ; il met en évidence le mode de la série. L’histogramme est utilisé pour représenter une série dont le caractère est quantitatif continu. Le polygone des effectifs cumulés croissants pour une série regroupée en classes est formé des segments reliant les points ayants pour abscisse l’extrémité droite xi de chaque classe et pour ordonnée Ni l’effectif cumulé croissant en xi.(pour les effectifs cumulés décroissants,on prend pour abscisse l’extrémité gauche xi de chaque classe.) Les paramètres statistiques. Paramètres de position. La moyenne. Valeur x1 x2 …. xp Effectif n1 n2 … nP Soit la série : Effectif total : N = n1 + n2 + … + np. La moyenne de cette série statistique est le réel, noté , tel que : =x1 + x2 + … +xp = f1x1 + f2x2 + … + fpxp. Si on connaît les moyennes et de deux parties d’une série, d’effectifs N et P, alors la moyenne de la série est la moyenne des moyennes partielles x et y, affectées des effectifs N et P : . Le mode. Le mode (ou la classe modale) est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif. Une population n’a pas toujours un mode (ou classe modale) unique. La médiane.(caractère quantitatif) La médiane d’une série est la valeur qui partage la population en deux parties de même effectif ; c’est-à-dire au moins 50% des individus prennent une valeur inférieure ou égale à la médiane ; au moins 50% des individus prennent une valeur supérieure ou égale à la médiane. Pour la déterminer, il est nécessaire d’ordonner par ordre croissant les valeurs du caractère. Dans une série de n termes, la médiane est : le terme du milieu si n est impair ; La demi somme des deux termes du milieu si n est pair. Remarque : Dans le cas d’une série continue, la médiane est la valeur qui correspond à une fréquence cumulée de 0,5. Paramètres de dispersion. Variance et écart type. La variance est V = . V étant un réel positif, on définit l’écart-type par = . L’écart-type est positif et mesure la dispersion de la série autour de la moyenne. (plus les valeurs sont dispersées, plus l’écart-type est grand) Quartiles, déciles. Les trois quartiles, notés Q1, Q2 = me et Q3 sont les valeurs d’un caractère quantitatif qui partagent l’effectif total en quatre groupes égaux. L’intervalle interquartile [Q1 ;Q3] contient 50 % des termes de la série statistique. L’écart interquartile est le nombre Q3 – Q1 : c’est un indicateur de dispersion. Pour Q1, on calcule, on détermine le plus petit entier p supérieur ou égal à  : Q1 est la pième valeur de la série ordonnée. Pour Q3, on remplace par . Exemple : Un professeur compare les notes obtenues à un test noté sur 10 par les deux groupes d’une classe : Groupe 1 8 3 7 2 5 7 9 6 8 3 3 8 6 5 Groupe 2 6 7 3 5 6 6 8 4 7 8 6 7 5 6 Déterminer la médiane, le 1er et 3ième quartiles. On range les série par ordre croissant. Groupe 1 : 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 Groupe 2 : 3 ; 4 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 N = 14. N / 4 = 3,5 soit la 4ième note et 3N / 4 = 10,5 soit la 11ième note. Groupe 1 : Q1 = 3 ; Me = 6 = Q2 et Q3 = 8. Groupe 2 : Q1 = 5 ; Me = 6 = Q2 et Q3 = 7. Le groupe 2 est plus homogène bien que le niveau des deux groupes soit le même (même médiane). Les neufs déciles, notés D1, D2 …. D9 sont les valeurs d’un caractère quantitatif qui partagent l’effectif total en dix groupes égaux. L’intervalle interdécile [D1 ;D9] contient 80 % des termes de la série statistique. L’écart interdécile est le nombre D9 – D1 : c’est un indicateur de dispersion. Pour D1, on procède comme pour Q1 en remplaçant par . Remarque : Le couple (Me, [Q1 ;Q3]) caractérise la série par une valeur centrale et une mesure de son étalement autour de Me. Il ne prend pas en compte les valeurs extrêmes. Diagramme en boîte (ou boîte à moustaches): Il résume par les quantiles la répartition des valeurs de la série : Exemple :Diagramme en boîte correspondant : Etude simultanée de deux caractères. Sur une même population, n considère deux caractères A et B ayant chacun deux modalités : A1 et A2 sont celles du caractère A, B1 et B2 celles du caractère B. Tableau croisé d’effectifs. Il présente les effectifs pour étudier simultanément les deux caractères A et B : A B A1 A2 Total B1 Effectif de A1 et B1 Effectif de A2 et B1 Effectif de B1 B2 Effectif de A1 et B2 Effectif de A2 et B2 Effectif de B2 Total Effectif de A1 Effectif de A2 Effectif total Fréquences conditionnelles. Soient fA, fB, fAB et fAB les fréquences de A, B, AB et AB. On a : fAB = fA + fB - fAB . Dans le cas particulier où les sous-populations A et B sont disjointes, on a : fAB = fA + fB. B A A1 A2 B1 f A1 (B1) f A2 (B1) B2 f A1 (B2) f A2 (B2) Total 1 1 Une fréquence conditionnelle se calcule en ligne ou en colonne. B A A1 A2 Total B1 f B1 (A1) f B1 (A2) 1 B2 f B2 (A1) f B2 (A2) 1 La fréquence conditionnelle de A1 sachant B1est : f B1 (A1) = = La fréquence conditionnelle de B1 sachant A1est : f A1 (B1) = = Remarque : La fréquence conditionnelle montre l’importance du choix de la population de référence pour le calcul statistique.