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Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
Quadripôle électrocinétique
Définition
Elément de circuit à quatre bornes :
Quadripôle passif : pas de source auxiliaire de puissance électrique.
Quadripôle actif : présence d’une source auxiliaire de puissance.
Le fonctionnement électrique du quadripôle est caractérisé par :
: tension d’entrée, de sortie du quadripôle
: courant d’entrée, de sortie du quadripôle
Un quadripôle est dit linéaire lorsqu’il est constitué uniquement de dipôles et éléments de circuit linéaires.
Exemples de quadripôles
Transformateur :
(passif)
(passif)
Montage à amplificateur opérationnel (A.O)
(actif)
Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire en .
Fonction de transfert (Transmittance)
Définition :
Attention : H dépend du quadripôle et du reste du circuit.
: gain du quadripôle.
: avance de phase de la sortie sur l’entrée.
On définit le gain en décibel :
Diagramme de Bode
Définition
Consiste à tracer les graphes et en fonction de , où est soit une pulsation caractéristique du circuit, soit . On peut aussi tracer en fonction de sur un papier millimétré en échelle logarithmique. (unité : décade).
Exemple : circuit R,C et C,R
Circuit R,C :
Source :
Charge : circuit ouvert ()
(diviseur de tension)
. On pose
Donc
Ainsi,
Diagramme de Bode :
En basse fréquence () :
. On a donc une asymptote horizontale en .
. On a aussi une asymptote horizontale.
En haute fréquence () :
Donc
Soit
On a une asymptote d’équation (soit ) en .
. On a donc une asymptote horizontale en
Circuit C,R :
Source :
Charge : .
, avec
En basse fréquence () :
Donc
On a une asymptote d’équation en .
En haute fréquence () :
. Donc
Pour , c’est le même que le précédent décalé de vers le haut :
Diagramme de Bode asymptotique
Définition du diagramme de Bode asymptotique : c’est la réunion des asymptotes haute fréquence et basse fréquence. (Le diagramme de Bode asymptotique est très proche du réel.) Remarque : on peut avoir plusieurs domaines de fréquences (haute fréquence, basse fréquence et intermédiaire).
Filtres du 1er ordre
Décomposition en série de Fourier
Soit F de période T (pulsation ). Alors, d’après le théorème de Fourier :
On a :
Notation compacte :
()
Terme 0 : valeur moyenne
Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier.
Exemple : le son d’un instrument de musique
Si F n’est pas périodique, on a toujours une décomposition, appelée « transformée de Fourier » (mais éventuellement avec une intégrale au lieu de la somme)
Exemple : décomposition spectrale de la lumière :
Théorème de superposition
Un circuit linéaire correspond à la donnée d’équations (différentielles) linéaires.
Théorème de superposition : pour calculer la réponse à , il suffit de sommer les réponses à chacune des excitations prises individuellement (valable non seulement pour des sommes, mais aussi pour des combinaisons linéaires).
Conséquence : pour , excitation périodique ou non, la série/transformée de Fourier donne
On trouve alors la réponse , pour chaque n, à . Dans ce cas, , soit
Donc
Définition et classification d’un filtre
Un filtre est un quadripôle linéaire.
Bande passante du filtre :
Un filtre est dit :
Passe-bas si la bande passante est de la forme .
Passe-haut si la bande passante est de la forme .
Passe-bande si la bande passante est de la forme
Coupe-bande si la bande passante est de la forme
Pour un quadripôle linéaire, , où P et Q sont des polynômes de degré ; n désigne alors l’ordre du filtre.
Exemple : passe-bas
Pour , C’n et Cn sont comparables (les basses fréquences sont transmises)
Pour , (les hautes fréquences sont atténuées)
Filtres passe-haut : R,L et C,R
Fonction de transfert
Charge : sortie ouverte.
, avec .
Charge : sortie ouverte.
, avec
On a donc un filtre du premier ordre.
Application
Touche AC de l’oscilloscope :
La touche AC est un filtre passe-haut
Comportement pseudo dérivateur
Si :
Pour une fonction périodique quelconque :
()
Donc
Si la plupart des composantes de Fourier de ve sont dans le domaine atténué (), alors
Filtres passe-bas
Fonction de transfert
En sortie ouverte :
, avec .
, avec .
Pulsation de coupure :
. .
On a donc un filtre passe-bas, de bande passante
Application : redressement
On utilise un filtre passe-bas
()
Comportement pseudo-intégrateur
En , pour :
Donc . Donc
Pour un signal périodique () de moyenne nulle :
()
avec ,
Exemple de filtre du 2nd ordre
Filtre LC,R :
Etude du diagramme de Bode :
En basse fréquence,
C'est-à-dire
Donc .
Donc a une asymptote d’équation
En haute fréquence,
De même, avec ,
Donc a une asymptote d’équation
Comparaison des pulsations :
Donc
Cas :
Le gain est maximum quand . On a un filtre passe bande (très sélectif : la bande est très petite)
Cas :
pour les fréquences intermédiaires :
Bande passante
