Transcript
Autoinduction, induction mutuelle
Autoinduction
Flux propre
On a
Remarque :
Quand on veut calculer , on obtient des intégrales divergentes
(On oublie ce problème pour l’instant, mais on verra plus tard comment le régler)
Autoinductance
Définition
On a
Et
On peut sortir I de l’intégrale, et noter
Propriétés
S’exprime en Henry ; ainsi, s’exprime en
On verra plus tard que
Et L ne dépend pas du matériau considéré, mais seulement de sa géométrie (on le voit sur la formule précédente, quand on sort le I)
Augmentation de L.
Avec un barreau ferromagnétique :
Le courant i va créer un champ , qui va être augmenté à cause du barreau. On aura alors un flux propre plus important, et une inductance L qui augmente aussi. Mais on aura alors , c'est-à-dire que la variation avec i ne sera plus linéaire (il faut aussi que le barreau puisse s’aimanter et se désaimanter facilement, par exemple avec du fer doux)
Avec un bobinage :
Pour N spires, L sera multiplié par .
Exemple
Solénoïde infini :
Pour une spire,
Pour spires,
Bobine torique de section rectangulaire :
Symétries :
On considère que le problème est invariant par rotation (c'est-à-dire qu’on a un bobinage très serré)
Tout plan contenant z est de symétrie pour les courants.
Donc
Théorème d’Ampère :
On a
Donc
Flux à travers une spire :
On a
Donc
Coefficient L :
On a donc .
Force électromotrice d’autoinduction
Cas général
Si varie, on aura une fem d’autoinduction .
Comme , .
On peut donc avoir une fem d’autoinduction lorsque la géométrie du circuit varie ou lorsque l’intensité varie.
Pour un circuit indéformable
On a alors , et donc
Remarque :
Le signe négatif traduit la loi de Lenz.
Si est très important (quand on coupe avec un interrupteur), on aura un champ électromoteur très intense, et on peut parfois observer au niveau de l’interrupteur des étincelles, indiquant une ionisation des molécules de l’air.
Energie
Energie magnétique propre d’un circuit
On a soit .
Remarque :
On a donc
Ce résultat est valable aussi en ARQP.
Déformation d’un circuit à intensité constante
Travail des forces de Laplace dues à :
Bilan énergétique :
On a ( : pour maintenir I)
On a
Et , où est opposé à la fem induite, c'est-à-dire . Donc .
Enfin,
Donc
Puis
Application :
On a à l’intérieur un champ
Qualitativement, la règle du maximal indique que le solénoïde a tendance à se contracter (pour que n augmente)
On peut montrer, en faisant un bilan énergétique sur un petit déplacement, que pour empêcher cette contraction il faut exercer une force
Autoinductance d’un circuit non filiforme
Exemple préliminaire
On cherche l’autoinductance par unité de longueur.
Schématisation linéique :
On a
Donc pour une petite bande à l’abscisse x,
Donc
On a une intégrale divergente…
Schématisation volumique :
Problème :
On ne peut pas savoir quel contour prendre pour calculer le flux…
Cas général
Dans un circuit filiforme, on obtiendra toujours des intégrales divergentes, puisque diverge au voisinage de la répartition.
(Pour le calcul fait avec le solénoïde et le tore, on était en fait passé en schématisation surfacique…)
Définition à partir de l’énergie
On a
On pose alors :
Comme B est proportionnel à I, est bien proportionnel à .
Ainsi, par définition, .
Exemple
Solénoïde infini :
On a
Câble coaxial :
On a ,
Calcul de :
On a déjà par symétrie
Pour ,
Pour , , donc
Pour , .
On a ainsi
Autoinductance linéique :
On a pour la portion de coaxial
Donc
Capacité linéique :
Pour un condensateur cylindrique, on avait , donc
Propagation dans un coaxial :
On avait vu pour les ondes que en supposant la ligne parfaite (,), i et u vérifiaient l’équation différentielle
Et on a maintenant
Remarque :
Ceci est valable pour toute ligne bifilaire.
On a appliqué la loi des nœuds, donc on est nécessairement en ARQP magnétique (pour la portion de coaxial)
Induction mutuelle
Inductance mutuelle (ou « mutuelle »)
Définition
On a
Donc
Et
Ainsi,
On définit les coefficients d’induction mutuelle :
Formule de Neumann
On a :
Et on reconnaît donc
Propriétés
Par symétrie, on a
M peut être positif ou négatif, en fonction de l’orientation choisie des circuits.
M dépend de la forme de chacun des circuits et de la distance entre eux.
Théorème de réciprocité
On a ainsi .
Exemple 1 :
On veut calculer le flux envoyé par la spire dans le solénoïde.
Il faut déjà connaître le champ créé par la spire (pas facile en dehors de l’axe…) Une fois qu’on y est arrivé, il faut ensuite calculer le flux à travers chaque spire du solénoïde…
Mais avec le théorème :
On a .
Donc .
Exemple 2 :
On cherche le flux envoyé par l’aimant dans le disque.
Méthode 1 :
On a …
Méthode 2, plus astucieuse :
On prend plutôt comme surface une calotte sphérique centrée en O et contenant le cercle :
Cette fois, la composante de selon est rasante, et on a donc
(Pour une petite languette d’angle constant)
Et donc
Méthode 3 : avec le théorème :
On remplace l’aimant par une boucle de courant :
On imagine de plus que le cercle est une spire parcourue par un courant
Ainsi,
Aspect énergétique
Energie d’interaction entre deux circuits
On a
Remarque : on a
Donc on retrouve les termes d’énergie propre de chaque circuit, et l’énergie d’interaction .
Conséquence sur M.
On a
Donc on a une forme quadratique définie–positive.
Donc , et
Force électromotrice d’induction
Loi d’Ohm
On a avec
Donc
Et de même
Bilan énergétique
On a en multipliant par :
On reconnaît ,
, qui n’est pas une différentielle totale, (pas d’énergie stockée)
Et , énergie potentielle.
Ce terme représente une énergie stockée (et disponible).
Mais le troisième terme n’est pas une différentielle totale et représente pourtant une énergie potentielle (stockée dans les deux bobines).
On fait le bilan énergétique dans le deuxième circuit :
Et en considérant le bilan total des deux circuits, on trouve une différentielle totale .
Transformateur
Principe :
Loi des mailles :
En circuit ouvert,
Donc
Dans l’autre maille :
Et donc
En complexe,
et
Donc
On suppose que
Ainsi,
On a donc fait apparaître aux bornes du circuit une tension sinusoïdale proportionnelle à et dont le rapport peut être choisi.
Remarque :
Le premier circuit consomme quand même de l’énergie si le circuit reste ouvert.
Les résultats sont modifiés si le deuxième circuit n’est plus ouvert.
Aspect technologique :
On suppose que , (et donc que les deux bobines ont la même longueur)
Ainsi, , donc
Et , donc
Ainsi, selon les branchements, la tension sera multipliée par deux ou divisée par deux.
On peut mettre un noyau de fer doux pour limiter l’influence de la charge d’un côté sur l’autre.
Perte de puissance :
Par effet joule (« perte cuivre »)
Par hystérésis : les particules aimantées du fer doux gardent parfois une orientation privilégiée, et donc l’énergie utilisée pour les mettre dans cette position est perdue (« perte fer »)
Application du transformateur :
Pour calculer la tension aux bornes de 1 ou 3, on n’a pas trop de difficulté.
Mais si on branche directement 2 aux bornes de l’oscilloscope, on aura en quelque sorte un court–circuit.
Pour l’éviter, on intercale un transformateur (de rapport 1) entre le dipôle et l’oscilloscope.