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CALCUL LITTERAL ET EQUATION
CALCUL LITTERAL
I) Rappels
Faire un petit test avant 2a et 2a 23 et 23
Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, on peut supprimer le signe « » entre :
_ un nombre et une lettre ;
_ un nombre et une parenthèse ;
_ une lettre et une parenthèse ;
_ deux lettres ;
_ deux parenthèses.
II) Expressions numériques et expressions littérales
Voir activité : « bordure d’un carré »
1) Numérique
« 37 4 + 4 » est une expression numérique.
On peut la calculer :
37 4 + 4
= 148 + 4
= 144
2) Littérale
« » est une expression littérale. Il s’agit d’une expression mathématique dans laquelle il y a une lettre. Cette lettre peut être n’importe quel nombre. On ne cherche pas ce nombre !
Ici « n » représente un nombre quelconque.
Exercice sur calcul du poids théorique : Santé
La formule de Lorentz permet de calculer le poids théorique P d’une personne, en kg, en fonction de sa taille T, exprimée en cm :
P = T – 100 – (T – 150)/a ;
a = 4 chez l’homme et a = 2 chez la femme
Calculer votre poids théorique, celui de Paul qui mesure 1,72m et celui de Vanessa qui mesure 1,61m
66,5 55,5
III) Suppression de parenthèses
Voir activité : « suppression des parenthèses » TABLEUR
Quand les parenthèses sont précédées d’un signe « + » :
_on peut supprimer ce « + » et les parenthèses
_on ne change pas les signes à l’intérieur des parenthèses
Quand les parenthèses sont précédées d’un signe « - » :
_on peut supprimer ce « - » et les parenthèses à condition de changer le signe des termes à l’intérieur des parenthèses.
Exemples :
3x + (4x – 2) = 3x + 4x – 2
5x² – (x² + 1) = 5x² – x² – 1
IV) Réduction d’une expression littérale
1) définition
Réduire une expression c’est l’écrire sans parenthèses et avec le moins de termes possibles.
Exemple :
G = x + (x + 22) + (x + 22 + 25)
On supprime les parenthèses en faisant bien attention aux signes :
G = x + x + 22 + x + 22 + 25
On regroupe les « x », les « constantes » :
G = x + x + x + 22 + 22 + 25
On compte le nombre de « x » et les « constantes » :
G = 3 x + 69
A = 5m + (4m – 2) – (m + 7)
On supprime les parenthèses en faisant bien attention aux signes :
A = 5m + 4m – 2 – m – 7
On regroupe les « m », les « constantes » :
A = 5m + 4m – m – 2 – 7
On compte le nombre de « m » et les « constantes » :
A = 8 m – 9
B = 5x² + 3x + (4x – 2) – (x² + 1)
On supprime les parenthèses en faisant bien attention aux signes :
B = 5x² + 3x + 4x – 2 – x² – 1
On regroupe les termes « en x² », les termes « en x » et les « constantes » :
B = 5x² – x² + 3x + 4x – 2 – 1
On compte les termes « en x² », les termes « en x » et les « constantes » :
B = (5 – 1)x² + (3 + 4)x – 2 – 1
On calcule :
B = 4x² + 7x – 3
V) Développement d’une expression littérale
Voir activité : « calcul d’aire »
1) Définition
Développer c’est transformer un produit en somme.
2) Rappel : distributivité simple
Quelque soit la valeur de k, de p et de r, on a
ou
Exemples :
Leur dire que cette expression a un nom : polynôme du 1er degré, que cela peut être une réponse à une question ou à un problème
ET
ou
Exemples :
3) Double distributivité
Quelque soit la valeur de a, b, c, d on a
ou
Exemples :
LEUR MONTRER LA MULTIPLICATION PER GELOSIA PUIS LA DOUBLE DISTRIBUTIVITE
(VOIR GWEN)
8y
4
5y
40y2
20y
3
24y
12
-6z
4
3z
18z2
12z
-7
42z
-28
VI) Factorisation d’une expression littérale
Voir activité 9 p 85 : « De l’espace au plan »
1) Définition
Factoriser signifie transformer une somme en un produit.
Pour factoriser on peut utiliser la formule de distributivité simple :
ou
Exemple :
I) CALCUL LITTERAL
1) Vocabulaire
Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nombres sont représentés par des lettres.
Exemple :
A
B
C
D
L’aire A du rectangle ABCD est exprimée en fonction de x : A =
2) simplification d’écriture
Pour simplifier les écritures, on peut parfois ne pas écrire le signe .
Exemple :
3 x peut s’écrire 3x
a 3 peut s’écrire 3a (mais pas a3 )
b c peut s’écrire bc
4 (a + 3) peut s’écrire 4(a + 3) (mais pas (a + 3)4 )
Attention ! 3 7 ne s’écrit surtout pas 37 !! En effet 3 7 = 21 et non pas 37 !
Cas particuliers :
Le produit A EFGH = est noté
(et se lit c au carré)
E
F
G
H
Le produit VABCDEFGH = est noté
(et se lit a au cube)
A
B
F
E
D
C
G
H
Le produit A OGCN = est noté simplement
O
G
C
N
II) Equation
1) Vocabulaire
Voir activité « essais »
A DECOUPER ACTIVITE ET A COLLER
On appelle équation une égalité de deux expressions (les membres de l’équation) dans laquelle apparaissent des lettres qui représentent des nombres indéterminés. Ces lettres sont appelées les inconnues de l’équation.
Si on remplace ces inconnues par n’importe quelle valeur prise au hasard, l’égalité sera presque toujours fausse. Dans les cas où l’égalité est vérifiée, on dit que la valeur est une solution de l’équation.
Exemple :
3t + 2 = 18 – t est une équation.
t est l’inconnue.
(3t + 2) et (18 – t) sont les membres de cette équation.
Si on remplace t par 5 (au hasard) et qu’on calcule séparément chaque membre de l’équation :
D’une part : 3t + 2 = 3 5 + 2 = 15 + 2 = 17
D’autre part : 18 – t = 18 – 5 = 13
Puisque 17 13, l’égalité est fausse quand t vaut 5. Donc, 5 n’est pas une solution de l’équation.
Si on remplace t par 4 (au hasard) et qu’on calcule séparément chaque membre de l’équation :
D’une part : 3t + 2 = 3 4 + 2 = 12 + 2 = 14
D’autre part : 18 – t = 18 – 4 = 14
Puisque les deux membres sont égaux, l’égalité est vraie quand t vaut 4. Donc, 4 est une solution de l’équation.
DEVELOPPEMENT ET FACTORISATION
I) DEVELOPPEMENT
1) Définition
Développer c’est transformer un produit en somme.
2) Savoir faire
Voir activité 3 page 9 : Aires de rectangles
Les égalités suivantes sont vraies quels que soient les nombres a, b et k :
et en changeant l’ordre des facteurs
et en changeant l’ordre des facteurs
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
Développer
k(a + b) = ka + kb
k(a - b) = ka – kb
Exemples :
A = 12 110
A = 12 (10 + 100)
A = 12 10 + 12 100
A = 120 + 1200
A = 1320
B = 25 990
B = 25 (1000 – 10)
B = 25 1000 – 25 10
B = 25 000 – 250
B = 24 750
II) FACTORISATION
1) Définition
Factoriser c’est transformer une somme en produit.
2) Savoir faire
On utilise les égalités vues précédemment
Développer
k(a + b) = ka + kb
k(a - b) = ka – kb
Factoriser
Exemples :
C = 137 5,62 + 137 4,38
C = 137 (5,62 + 4,38)
C = 137 10
C = 1370
D = 125 8 – 125 7,99
D = 125 (8 – 7,99)
D = 125 0,01
D = 1,25
