Developpements limites.docx

Développements limités Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle, et a un point de I. Généralités Définitions Soit , . On dit que f admet un développement limité (DL) à l’ordre n en a lorsqu’il existe des réels et une fonction qui tend vers 0 en a tels que : Autrement dit : Lorsqu’il existe tels que, au voisinage de a : Ou encore lorsqu’il existe tels que : au voisinage de 0. Ainsi, la notion de DL à l’ordre n en a pour revient à la notion de DL à l’ordre n en 0 pour . Exemples : L’égalité constitue un DL à l’ordre 2 en 0 de la fonction cosinus. On veut un DL à l’ordre 2 en de cosinus : DL à l’ordre 3 en 0 de la fonction  : DL à l’ordre 5 en 0 de la fonction (Vrai à n’importe quel ordre) Théorème d’unicité des coefficients d’un DL Théorème : Soit , . Si f admet un DL à l’ordre n en a, alors les coefficients de ce DL sont déterminés de manière unique, c'est-à-dire que si sont des réels tels que, au voisinage de 0 : et , Alors Démonstration : Soient deux fonctions qui tendent vers 0 telles que : (1) Où Alors, en prenant dans (1), on obtient déjà . En reportant et en simplifiant par u (si non nul), on obtient : En faisant tendre u vers 0, on obtient alors … …on répète l’opération. Donc : Donc Donc , donc . Troncature d’un DL Proposition : Soit , . Si f admet un DL à l’ordre n en a, alors, pour tout , f admet un DL à l’ordre p en a, obtenu par troncature. En effet : Pour , ok Sinon,  : DL et dérivation Proposition : Soit  ; f a un DL à l’ordre 0 en a si et seulement si f est continue en a, et dans ce cas ce DL est , où tend vers 0 en 0. En effet : Si f est continue en a, alors , donc . Si f admet un DL à l’ordre 0 en a, il s’écrit , donc , donc f est continue en a, et . Proposition : Soit  ; f admet un DL à l’ordre 1 en a si et seulement si f est dérivable en a, et dans ce cas ce DL est (1) En effet : Si f admet un DL à l’ordre 1 en a, alors Donc avec , , et pour , . Si f est dérivable en a, on a vu que l’égalité (1) est vraie. Attention : il est faux cependant qu’on ait un tel rapport pour les ordres supérieurs à 2. Exemple : Soit Alors f admet un DL à l’ordre 2 en 0 : Donc f admet un DL à l’ordre 1 en 0 qui s’écrit , donc f est dérivable en 0 et . Est-elle deux fois dérivable en 0 ? Pour , Donc Donc f n’est pas deux fois dérivable en 0. Cependant : Soit . Soit f de classe sur I. Alors f admet en tout point a de I un DL à l’ordre n, qui est donné par la formule de Taylor–Young : Exercice : Soit . Montrer que f est une bijection de R dans R dont la réciproque est de classe . Déterminer . Déjà f est bijective, de classe et de dérivée ne s’annulant pas. Donc est de classe . Comme est de classe , elle admet un DL à l’ordre 3 en 0 : , et . Pour tout réel x, on a : d’une part. et Soit Donc Donc Donc « Opérations sur les DL » « Retour à 0 » On rappelle que a un DL à l’ordre n en a si et seulement si a un DL à l’ordre n en 0. Exemple : DL à l’ordre 3 en 1 de . Pour tout  : où . Somme, produit par un réel Proposition : Soient , Si f et g admettent un DL à l’ordre n en a, alors et aussi, et les parties principales des DL de et sont obtenues en faisant respectivement le produit de la partie principale du DL de f par , et en faisant la somme des parties principales des DL de f et g. Démonstration (sans introduire les notations) : Donc : . Exemple : Donc Et Produit de deux DL Exemple : Donc : Proposition : Si deux fonctions f et g admettent un DL à l’ordre n en a, alors admet un DL à l’ordre n en a, obtenu en ne conservant que les termes de degré dans le produit des parties principales (polynomiales) des DL de f et g. Démonstration (sans introduire les notations) : Donc : . Composition de DL Exemple : où Donc On a donc obtenu le DL à l’ordre n en 0 de . Théorème : Soient , Soit où J est tel que Si f a un DL à l’ordre n en a, et g un DL à l’ordre n en , alors a un DL à l’ordre n en a, donné dans la démonstration. Démonstration : où où On a donc la somme d’un polynôme en x de degré et d’une fonction négligeable devant . Exemples : DL à l’ordre 3 en 0 de  : avec . . Donc : Donc : On remarque qu’on pouvait se contenter de DL à l’ordre 3 en 0 de  : où . où On pouvait là aussi se contenter de DL à l’ordre 4 de Or, Donc Donc Inverse Proposition : Soit . Si , et si f a un DL à l’ordre n en a, alors aussi. Démonstration : , où et . Comme f a un DL à l’ordre n en a, f a un DL à l’ordre 0 en a, donc f est continue en a, donc, comme , f est strictement du signe de au voisinage de a, donc est bien définie au voisinage de a. Où , et On note Alors g a un DL à l’ordre n en 0, et a un DL à l’ordre n en 0, donc, par composition, a un DL à l’ordre n en 0, d’où l’existence. Rappel : Exemples : DL à l’ordre 4 en 0 de  : Or, Si on prend , on aura : Et car DL à l’ordre 3 en de  : Or, Si on prend , on a : car Donc Primitive, dérivée Primitive Théorème : Soit , admettant un DL à l’ordre n en a. Si f admet une primitive F sur I, alors F admet un DL à l’ordre en a, obtenu de la manière suivante : Si , Alors . Démonstration : où . Posons Ainsi, . On doit donc montrer que . Notons Soit . D’après le théorème des accroissements finis appliqué à entre 0 et x, il existe tel que : Ainsi, pour  : Donc , donc . Dérivation Théorème : Soit . Si f est dérivable et admet un DL à l’ordre n en a, et si admet un DL à l’ordre en a, alors ce DL est obtenu ainsi : Si , Alors Démonstration : Il suffit d’appliquer à le théorème précédent. Attention : L’hypothèse que admet un DL est indispensable : Alors f admet un DL à l’ordre 2 en 0, à savoir (Puisque ) Mais n’admet pas de DL à l’ordre 1 en 0 puisque f n’est pas deux fois dérivable en 0, donc n’est pas dérivable en 0, donc n’admet pas de DL à l’ordre 1 en 0. Parité Proposition : Si admet un DL à l’ordre n en 0, disons Alors : - Si f est paire, alors les sont nuls - Si f est impaire, alors les sont nuls. Démonstration : Ici, I est un intervalle contenant 0 et centré en 0. On a : Si f est paire, on a alors , et donc Si f est impaire, on a alors , et donc DL à connaître Toutes les fonctions considérées sont de classe au voisinage de 0, elles ont donc un DL à n’importe quel ordre en 0 : On en tire plusieurs résultats : - Déjà, D’où, par intégration, - Mais aussi, par intégration, - Ou encore D’où Et, par intégration : (Qu’on pouvait aussi retrouver en considérant que ) Avec : Avec : - Donc par intégration : - Ou D’où, par intégration : Et  : deux méthodes : - - La dérivée de tangente est de classe au voisinage de 0, donc admet un DL à l’ordre 4 en 0, et : Or, Donc, par unicité des coefficients d’un DL : . Donc et Applications Recherche de limites, d’équivalents (exemples)  ? On peut réutiliser les méthodes de Terminale (c’est ), ou : Au voisinage de 0, on a : Donc, pour  : , d’où . Donc la fonction est prolongeable par continuité en 1 par la valeur 1, et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre 1 en 1 : . Donc f est dérivable en 1, et . Soit f définie sur , où a est un élément de I. S’il existe tels que, au voisinage de 0 privé de 0 : , alors f est prolongeable par continuité en a (par ), et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre n en a.  ? Au voisinage de 0, on a : Donc Le premier terme non nul d’un DL donne un équivalent : Si (avec ), alors . Donner un équivalent en de . Au voisinage de 0, on a : Donc D’où Dérivée, tangente, position d’une courbe par rapport à une tangente On suppose que f admet un DL à l’ordre au moins 2 en a : , où De ce DL, on tire : D’où l’équation de la tangente à C au point A d’abscisse a : La position de C par rapport à la tangente T est donnée par le signe de : Si  : Donc est du signe de au voisinage de a. Si , et si on suppose de plus qu’on peut faire un DL jusqu’à un ordre p suffisant de sorte que le coefficient de ne soit pas nul : où et Soit Donc est du signe de pour au voisinage de a et du signe de pour toujours au voisinage de a. On a donc, selon la parité de p : Etude locale en . Exemple : Etude de la fonction Déjà f est définie sur , et elle y est de classe Et Etude en ou  : Au voisinage de 0 : où Donc où Donc Ainsi, l’écart entre la courbe C et la droite D d’équation est qui tend vers 0. La droite D est donc asymptote à C en De plus, Donc C est au dessus de D en et en dessous en . Etude à gauche en 0 : On pose Ainsi, f est continue à gauche en 0. Pour . Donc f est dérivable à gauche en 0, et