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Définitions relatives aux fonctions à valeurs réelles Fonctions à valeurs réelles Soit A un ensemble non vide. désigne l’ensemble des applications de A dans R. Somme, produit, produit par un réel Pour et , on définit : Si de plus g ne s’annule pas sur A, on pourra naturellement définir et . Autres définitions Pour , on définit : Remarque : ces fonctions peuvent aussi bien être notées ou . Pour , on définit aussi : Proposition : et Démonstration : Soit . Si , alors et . Donc Et Si , alors et . Donc Et Donc , et Soit et . Inégalités sur les fonctions Pour , on pose : La relation définie ainsi sur est une relation d’ordre partiel. La notation signifie : Attention, si et , on a pas nécessairement pour autant . Fonctions majorées, minorées Soit . On rappelle que . On a les équivalences : Si f est majorée, on peut introduire le réel , qu’on définit comme étant (l’ensemble admet bien une borne supérieure puisque c’est un ensemble de réels non vide et majoré). Si l’ensemble est non seulement majoré, mais admet un maximum, on l’appellera le maximum de f et on le notera . On aura alors bien sûr , et on dira alors que la borne supérieure de f est atteinte (puisqu’il existe alors tel que ). De même, lorsque f est minorée, on peut introduire , qu’on note lorsque la borne inférieure est atteinte. Enfin, lorsque f est bornée, on s’intéresse à Notations équivalentes : Sous réserve d’existence, est aussi noté , noté … Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles Il s’agit maintenant des fonctions à valeurs dans R et définies sur une partie non vide de R. Dans toute la suite, D désigne une partie non vide de R. Fonctions monotones Soit . f est croissante . f est strictement croissante . f est décroissante f est strictement décroissante f est monotone f est croissante ou f est décroissante. f est strictement monotone f est strictement croissante/décroissante. Remarque : dans le cas où, on retrouve les définitions données dans le cadre des suites réelles. Proposition : Toute fonction strictement monotone est injective. Démonstration : Soit une fonction strictement monotone. Soient , supposons que . Alors , car sinon : Soit , et alors ou car f est strictement monotone, ce qui est impossible (car ). Soit , et alors ou car f est strictement monotone, ce qui est aussi impossible (car ). Donc . Donc f est injective. Proposition : Soient . Alors : Si f et g sont monotones de même sens, alors l’est aussi, et de même sens. Si f est monotone, alors est monotone de sens contraire. Si f et g sont positives et monotones de même sens, alors aussi. Si f est strictement positive et monotone, alors est monotone de sens contraire. Démonstrations : Supposons f et g monotones de même sens. Soient . Supposons que . On a alors : Soit et si f et g sont croissantes, Soit et si f et g sont décroissantes. Donc soit , c'est-à-dire , soit , c'est-à-dire . Donc est aussi monotone, et de même sens que f et g. Supposons f monotone. Soient . Supposons que . On a alors : si f est croissante, si f est décroissante. Donc ou . Donc est monotone, de sens contraire à f dans les deux cas. Supposons f et g positives et monotones de même sens. Soient . Supposons que . On a alors : et si f et g sont croissantes, ou et si f et g sont décroissantes. D’où on tire que si f et g sont croissantes, ou si f et g sont décroissantes. Ainsi, est monotone et de même sens que f et g. Supposons f strictement positive et monotone. Soient , supposons que . Alors : si f est croissante, ou si f est décroissante. Donc si f est croissante, si f est décroissante. Donc est monotone, et de sens contraire à f. Proposition : Soient , , où D’ est une partie de R contenant (donc non vide), de sorte qu’on puisse parler de . Si f et g sont monotones de même sens, alors est croissante. Si f et g sont monotones de sens contraires, alors est décroissante. Démonstration : Supposons f et g monotones de même sens. - Si f, g sont croissantes : Soient . Supposons . Alors : Comme f est croissante, . , et . Donc, comme g est croissante : , c'est-à-dire . Donc est croissante. - Si f, g sont décroissantes : Soient . Supposons . Alors : Comme f est décroissante, . , et . Donc, comme g est croissante : , c'est-à-dire . Donc est croissante. Supposons f et g monotones de sens contraires. - Si f est croissante et g décroissante : Soient . Supposons . Alors : Comme f est croissante, . , et . Donc, comme g est décroissante : , c'est-à-dire . Donc est décroissante. - Si f est décroissante et g croissante : Soient . Supposons . Alors : Comme f est décroissante, . , et . Donc, comme g est croissante : , c'est-à-dire . Donc est décroissante. Fonctions paires, impaires Soit . f est paire f est impaire On vérifie immédiatement les propriétés sur les fonctions paires et impaires suivantes : Soient . Si f et g sont toutes les deux (im)paires, alors a la même parité que f et g. Si f et g ont la même parité, alors est paire. Si f et g sont de parités contraires, alors est impaire. Si f est (im)paire, alors l’est aussi. Soient , , où D’ est une partie de R contenant . Si f est paire, et g est (im)paire, alors est paire. Si f est impaire, et si g est impaire, alors est paire. Si g est paire, alors est paire. Fonctions périodiques Soit . Soit . On dit que f est T-périodique lorsque : On dit que f est périodique lorsqu’il existe tel que f est T-périodique. Proposition : La somme ou le produit de deux fonctions T-périodiques est T-périodique. De plus, si , alors la somme ou le produit d’une fonction T-périodique et d’une fonction T’-périodique est périodique. - Soient , T-périodiques. Soit . Alors et . De plus, on a : et Ainsi, et sont bien T-périodiques. - Déjà, pour , si f est T-périodique, alors f est -périodique, et une récurrence immédiate montre que pour tout , f est -périodique ; ainsi, pour tout , f est -périodique : On a, pour tout  : Et, si f est -périodique (), alors pour tout  : , donc, comme f est T-périodique (hypothèse de départ) : Et , Donc f est -périodique. Soient maintenant , T-périodique, et , T’-périodique, où . Soit tel que . Comme g est -périodique et f est -périodique – soit aussi -périodique – et sont -périodiques (ou -périodiques), donc périodiques. Contre-exemple dans le cas où  : On note la fonction définie sur R par (on l’appelle la fonction caractéristique de Q) Alors est 1-périodique. Mais la fonction n’est pas périodique : Supposons qu’elle le soit ; soit alors tel que f soit T-périodique. Soit , alors soit . Donc car . Donc , soit , puisque , ce qui est contradictoire puisqu’on avait supposé que , donc Donc . Donc , soit Il existe donc tel que Mais on a aussi , soit . Il existe donc tel que . Mais alors , soit donc , ce qui est contradictoire puisque . Donc , donc f n’est pas périodique. Fonctions lipschitziennes Soit . Soit . On dit que f est k-lipschtzienne (ou lipschitzienne de rapport k) lorsque : On dit que f est lipschitzienne lorsqu’il existe tel que f est k-lipschitzienne. Interprétation : Soit C la courbe représentative de f dans un repère plan. Dire que f est lipschitzienne revient à dire que l’ensemble des pentes des cordes tracées entre deux points de C est borné. Exemple : La fonction est lipschitzienne sur , alors que ne l’est pas. - En effet, pour tout , on a : . Donc est 2-lipschitzienne sur . - Supposons qu’elle le soit. Soit alors tel que soit k-lipschitzienne On a alors, pour tout  : Donc . Or, pour , on a : et , mais , on a donc trouvé tel que . Donc l’hypothèse de départ est fausse, donc n’est pas lipschitzienne. Extremum local, global Soit , et soit . On dit que f présente un maximum (global) en a lorsque . Cela revient à dire que f admet un maximum, et que . On dit que f présente un maximum local en a s’il existe un voisinage V de a tel que . Cela revient à dire que présente un maximum (global) en a. La définition est analogue pour un minimum global ou local en a. On rappelle que « extremum » signifie : maximum ou minimum. Propriété vraie sur une partie du domaine de définition Soit P une propriété quelconque qu’une fonction réelle d’une variable réelle est susceptible d’avoir (par exemple « être positive », « être croissante »…) Soit Soit D’ une partie de D. On dit que f a la propriété P sur D’ lorsque a la propriété P. (Comme dans le D) pour dire que est k-lipschitzienne sur ). Soit a un point de adhérent à D. On dit que f a la propriété P au voisinage de a lorsqu’il existe un voisinage V de a tel que a la propriété P. Remarque : Attention aux pièges du langage : une phrase telle que « f n’a pas la propriété P au voisinage de a » est ambiguë : On peut l’interpréter comme : « non(f a la propriété P au voisinage de a) », qui signifie « quel que soit le voisinage de a, f n’a pas la propriété P sur  ». Mais on peut l’interpréter aussi comme « f a la propriété non(P) au voisinage de a », qui signifie « il existe un voisinage V de a tel que f n’a pas la propriété P sur  ». C’est en général la première interprétation qui est la bonne, mais c’est surtout le bon sens qui permet de décider.