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APPROXIMATION LOCALE Développement limités Dans ce paragraphe on introduit l'outil permettant l'étude locale des fonctions. Nous verrons que cet outil est très performant en particulier pour résoudre les problèmes suivants : Trouver la limite en un point d'une fonction donnée sous une forme indéterminée (par exemple quotient de deux fonctions ayant toutes les deux une limite nulle). Montrer qu'une fonction est dérivable en un point, trouver l'équation de la tangente à son graphe en ce point et préciser la position relative du graphe et de sa tangente. Prouver l'existence et trouver l'équation d'une asymptote oblique au graphe d'une fonction et préciser la position relative du graphe et de son asymptote. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit a un point de I et soit n un entier naturel. On dit que f a un développement limité d'ordre n en a s'il existe des nombres réels c0, c1,...,cn et une fonction continue et nulle en 0 tels que : f(x)=c0+c1(x-a)+...+cn(x-a)n+(x-a)n (x-a) pour tout nombre x del'intervalle I. Remarques : Cette définition respecte la convention générale de noter n'importe quelle fonction continue et nulle en 0. Quand x s'approche de a, c'est-à-dire quand x-a devient petit, chacun des termes du développement limité devient négligeable devant le terme qui le précède. Plus précisément, c0 est une constante, c1(x-a) devient petit, c'est-à-dire négligeable devant toute constante non nulle, c2(x-a)2 devient très petit, c'est-à-dire négligeable devant (x-a),..., cn(x-a)n devient très très...très petit, c'est-à-dire négligeable devant (x-a)n-1, et finalement (x-a)n (x-a) devient encore plus petit, c'est-à-dire négligeable devant (x-a)n . Même si le développement limité donne apparemment la valeur de la fonction en tout point de l'intervalle I, il ne faut pas oublier que l'on ne connait aucune propriété de la fonction en dehors de sa limite en 0. Autrement dit, à partir du développement limité, on ne peut espérer obtenir aucune information sur le comportement de la fonction f ailleurs qu'au point a. C'est uniquement lorsque l'on recherche la limite en a d'une expression faisant intervenir la fonction f qu'il peut être avantageux de remplacer la fonction f par son développement limité en a. La partie principale P(x)=c0+c1(x-a)+...+cn(x-a)n du développement limité est un polynôme de degré n. Comme on l'a vu dans la remarque 2 , ce polynôme est écrit de manière tout à fait adaptée pour étudier ce qui se passe lorsque x tend vers a. Il serait particulièrement maladroit de le développer suivant les puissances de x car on perdrait ainsi toute l'information contenue dans les coefficients ci . Par exemple, le coefficient c0 donne la valeur du polynôme P au point a, le coefficient c1 donne la dérivée de P en a etc... Le reste (x-a)n (x-a) du développement limité est indispensable : en l'oubliant, on affirme que la fonction f est un polynôme de degré au plus n ce qui n'est pas vrai en général. Il faut le considérer comme un indicateur de l'ordre du développement limité c'est-à-dire de la précision avec laquelle on veut connaître la fonction f au voisinage du point a. De plus, quand on effectue des opérations sur les développements limités, c'est en suivant les transformations successives de ce terme que l'on connait l'odre du développement limité obtenu à la fin. Cet ordre peut être en effet difficile à prévoir avant de faire les calculs explicites. Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un point de I. Si f a un développement limité d'ordre n en a alors ce développement est unique. Cela signifie que, si on trouve, par exemple par deux calculs différents, deux développements limités pour la même fonction ceux-ci sont égaux. Nous pourrons donc parler maintenant "du" développement limité à l'ordre n de la fonction f en a (alors qu'auparavant, on ne pouvait parler que "d'un" développement limité). Preuve Nous voulons démontrer la propriété suivante : (Pn) Si une fonction f a deux développements limités à l'ordre n en a :   f(x) = c0+c1(x-a)+...+cn(x-a)n +(x-a) n (x-a)    = d0+d1(x-a)+...+dn(x-a)n + (x-a) n (x-a)    alors on a  ci=di  pour 0in. Remarque : l'égalité des coefficients des deux développements limités implique évidemment qu'ils ont la même partie principale :  c0+c1(x-a)+...+cn(x-a)n  =d0+d1(x-a)+...+dn(x-a)n mais aussi qu'ils ont le même reste (les deux restes s'écrivent (x-a) n (x-a) mais correspondent a priori à des fonctions différentes). On raisonne par récurrence sur l'ordre n des développements limités : (P0) s'écrit f(x) = c0 + (x-a) = d0 + (x-a) ce qui entraine f(x) =c0 = d0. On suppose que la propriété (Pn-1) est vraie et on va démontrer la propriété (Pn). En tronquant à l'ordre (n - 1) les deux développements limités d'ordre n de la fonction f, c'est-à-dire en utilisant le fait que cn(x-a)n +(x-a) n (x-a)=(x-a) n-1 (x-a), on obtient : f(x)=c0+c1(x-a)+...+cn-1(x-a)n-1+(x-a)n-1(x-a)=d0+d1(x-a)+...+dn-1(x-a)n-1+(x-a)n-1(x-a) c'est-à-dire deux développements limités de f à l'ordre (n - 1) en a . D'après l'hypothèse de récurrence (Pn-1), on a ci=di pour 0in-1. On remarque alors que, pour xa, on a : = cn + (x-a) = dn + (x-a) Si on fait tendre x vers a dans la deuxième égalité, on trouve finalement que cn = dn ce qui achève la démonstration.   La fonction x est définie sur l'intervalle ]0,[. Nous voulons en trouver le développement limité en un point a >0. Première étape : développement limité de la fonction x en 0. La formule classique donnant la somme d'une série géométrique : (1-x)(1+x+x2+...+xn)=1-xn+1 s'écrit aussi : Maintenant, la fonction x, qui est définie sur l'intervalle ]-1,[, est continue et nulle en 0. c'est donc une fonction particulière. Quitte à perdre l'information sur la valeur exacte de cette fonction, on peut donc écrire :   ce qui est le développement limité à l'ordre n en 0 de la fonction x. Deuxième étape : la méthode générale pour obtenir le développement limité d'une fonction en un point a est de se ramener à un développement limité en 0 en posant x=a+t de telle sorte que t tende vers 0 lorsque x tend vers a (dans la pratique, les développements limités "classiques", comme celui qui est encadré ci-dessus, sont tous des développements limités en 0). En utilisant le développement trouvé dans la première partie, on obtient : c'est-à-dire finalement : Quoique faisant intervenir une notion globale (fonction dérivable sur un intervalle) dans son énoncé et un résultat qui nécessite l'étude globale des fonctions (théorème des accroissements finis) dans sa démonstration, le résultat suivant est essentiel dans l'étude locale des fonctions. Proposition (intégration des développements limités) Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un point de I. Si f est dérivable sur I et si sa dérivée f' a un développement limité d'ordre n en a : f'(x)=c0+c1(x-a)++cn(x-a)n+(x-a)n (x-a) alors f a un développement limité d'ordre n+1 en a dont la partie principale est la primitive de la partie principale du développement limité de f' : f(x)=f(a)+c0(x-a)+c1++cn+(x-a)n+1 (x-a)  Preuve Posons    g(x)=f(x)-f(a)-c0(x-a)-c1--cn  et montrons que g(x)=(x-a)n+1(x-a). On trouve : g'(x)=f'(x)-c0-c1(x-a)--cn(x-a)n=(x-a)n (x-a)   Pour x dans I, d'après le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction g sur l'intervalle J d'extrémités a et x (c'est l'intervalle [a,x] si x>a et l'intervalle [x,a] si x0 en intégrant celui de la fonction 1/x. On préfère le déduire de la formule encadrée ci-dessus par la "méthode générale" , c'est-à-dire en posant x=a+t : Exemple 2. Développement limité de la fonction exponentielle. La fonction exponentielle est dérivable, est égale à sa dérivée et vaut 1 au point 0. On en déduit que exp'(0)=exp(0)=1 et donc que : exp(x)=1+x+x(x) En intégrant le développement limité exp'(x)=exp(x)=1+x+x(x) on trouve exp(x)=exp(0)+x+x2+x2(x)=1+x+x2+x2(x) En continuant à intégrer les développements de exp'(x) ainsi obtenus, on trouve finalement :     A partir de là on trouve facilement le développement limité de la fonction exponentielle à l'ordre n en un point a : exp(x)=exp(a+t)=exp(a)exp(t)= = Théorème (formule de Taylor-Young) Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un point de I. Si f est n fois dérivable en a (et donc n-1 dérivable dans un voisiage de a), alors f a un développement limité d'ordre n en a donné par : f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+f"(a)++ f(n)(a)+(x-a)n (x-a) dans laquelle on a noté f(i) la i-ème dérivée de f. Preuve On fait une démonstration par récurrence sur l'entier n. Montrons la formule pour n=1, Par hypothèse, la fonction f est (une fois) dérivable en a. Elle satisfait donc la propriété caractéristique des fonctions dérivables : f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)(x-a) Autrement dit elle a un développement limité d'ordre 1 en a qui est bien de la forme annoncée. Supposons la formule à l'ordre n-1 vraie pour toute fonction n-1 fois dérivable en a et démontrons la formule à l'ordre n pour une fonction f supposée n fois dérivable au point a. Si la fonction f est n fois dérivable en a, sa dérivée f' est n-1 fois dérivable en a. On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : elle a un développement limité donné par : f'(x)=f'(a)+(x-a)f''(a)+f(3)(a)++ f(n)(a)+(x-a)n-1 (x-a) (la i-ème dérivée de f' est la (i+1)-ème dérivée de f). Formule du binôme généralisé. Etant donné un nombre , on cherche le développement limité de la fonction f définie par f(x)=(1+x) . Pour cela, on calcule les dérivées successives de la fonction f en 0 : f(x)=(1+x) f(0)=1 f'(x)=(1+x)-1 f'(0)= f"(x)=(-1)(1+x)-2 f"(0)=(-1) ...   f(n)(x)=(-1)...(-n+1)(1+x)-n f(n)(0)=(-1)...(-n+1) La formule de Taylor-Young s'écrit alors :     En prenant =n, on retrouve la formule du binôme de newton classique : dans ce cas la fonction est identiquement nulle. En prenant = et n=6, on trouve après quelques calculs : Pour en déduire le développement limité de la fonction racine au voisinage du point a , on utilisera la formule : Voici le tableau récapitulatif des développements limités usuels que nous avons obtenus dans les exemples : Lorsque l'on veut calculer le développement limité d'une fonction, on commence par se ramener à un développement limité en 0 en posant éventuellement x=a+t comme nous l'avons fait plusieurs fois dans les exemples. Nous nous contenterons donc, à partir de maintenant, de parler des développements limités en 0. Le calcul des développements limités des fonctions obtenues par opérations algébriques et composition à partir des fonctions usuelles utilise d'une part les développements limités usuels donnés dans la page précédente et d'autre part les deux principes énoncé ci-dessous   Premier principe : dans un développement limité, il est inutile de conserver des termes plus petits le reste. Ce principe se traduit dans les formules suivantes qui sont exactes dès que p>n : xp+xn(x)=xn(x) ,      xp(x)+xn(x)=xn(x) (ceci résulte de ce que l'on a xp=xnxp-n=xn(x)). A partir de ce principe, il est facile de calculer la somme ou le produit de deux développements limités :  Deuxième principe : la composée d'une fonction epsilon et d'une fonction tendant vers 0 est une fonction epsilon. Soit u une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Ce principe se traduit dans la formule suivante (u)=(x)   (ceci résulte de ce que la fonction composée ou tend vers 0 avec x). Dans la pratique, on aura calculé le développement limité à un certain ordre de la fonction u en 0. Il est important d'avoir trouvé le premier terme non nul de ce développement limité. En effet, si on a : u(x)=crxr++xn(x)    alors, on trouvera que un(u)=xnr(x) comme le montre un calcul facile, consistant à remplacer u par son développement limité et (u) par (x) , suivi de l'utilisation du premier principe. A partir de ce deuxième principe (et du premier principe), il est facile de calculer le développement limité en 0 d'une fonction composée fou à condition que la fonction u tende vers 0 quand x tend vers 0. Nous allons, en particulier, utiliser ce procédé pour calculer le développement limité à l'ordre n en 0 de l'inverse 1/f d'une fonction f qui ne s'annule pas en 0 à partir du développement limité à l'ordre n en 0 de f. Dans la pratique, le procédé donne des résultats y compris dans le cas où la fonction f est nulle en 0. Nous nous plaçons dans ce cas plus général. Si on a  f(x)=crxr+cr+1xr+1++cnxn+xn(x)     avec   cr 0, (avec r=0 si f(0)0) on commence par mettre en facteur le "plus grand terme"  crxr et on écrit f sous la forme f(x)=crxr(1-u)  avec   u=d1x++dn-rxn-r+xn-r(x)   et    di=. On trouve, pour tout nombre entier p>0 :  . On remarque alors que u contient un facteur x (au moins) dans son développement limité et donc que  up(u)= xp(x). Il vient :         (*) En choisissant p=n-r et en faisant rentrer les monômes de degré strictement supérieur à n-r dans le terme xn-r(x), on trouve qui n'est autre, si r=0, que le développement limité d'ordre n en 0 de la fonction 1/f. Remarque : dans le cas où d1=0, on peut prendre pour ordre p un nombre plus petit que n-r. Par exemple, si d2 n'est pas nul on trouve que   up(u)= x2p(x)  et, dès que l'on prendra p(n-r)/2, l'ordre du développement limité contenu dans la formule (*) sera donné par le premier terme c'est-à-dire n-r. Il est inutile de se fatiquer plus ! Pour pouvoir étudier l'existence d'un développement limité en un point de raccordement d'une fonction définie par morceaux, nous introduisons la notion de développement limité à droite et à gauche.   Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit a un point de I. On dit que la fonction f a un développement limité d'ordre n à droite (resp. à gauche) en a si sa restriction g (resp. h) à l'intervalle I ]a,[ (resp. I ]-,a[) a un développement limité d'ordre n en a. Remarque : on suppose dans cette définition que l'intervalle I est ouvert de façon à ce que la fonction soit définie à gauche et à droite du point a ce qui est indispensable pour pouvoir se poser le problème de l'existence des développements limités des fonction g et h ! La proposition suivante est une conséquence directe de la propriété analogue pour les limites pour prouver l'existence d'un développement limité il faut et il suffit de démontrer que la fonction qui y intervient à une limite nulle en 0. Proposition. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit a un point de I. La fonction f a un développement limité d'ordre n en a si et seulement si elle a un développement limité d'ordre n à gauche et a un développement limité d'ordre n à droite en a et si ces deux développements limités sont égaux (c'est-à-dire ont les mêmes coefficients).  1) Limites Les développements limités servent essentiellement à calculer des limites. 2) Tangente et position dela courbe par rapport à la tangente. Les développements limités permettent aussi de calculer plusieurs limites simultanément. Par exemple, un seul calcul du développement limité à l'ordre 2 au point a : f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+(x-a)2 (x-a) donne l'équation de la tangente T à la courbe d'équation y=f(x) au point A=(a,f(a)) : T(x)=c0+c1(x-a) Si c20, il permet en outre de préciser la position de cette tangente T par rapport à la courbe au voisinage du point A. En effet le point d'abscisse x de la courbe est au-dessus de la tangente si et seulement si 00 et t<0. Si g(x)=c0+c1x+c2x2+x2 (x), il vient : f(x)=xg()=c0x+c1+c2+ () Ce "développement asymptotique" nous donne d'une part l'équation de l'asymptote y =c0x+c1 et d'autre part, c20, la position de la courbe par rapport à cette asymptote : le point d'abscisse x de la courbe est au-dessus de l'asymptote si et seulement si 0