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Cinétique
Vocabulaire :
La cinématique, c’est l’étude des mouvements.
La cinétique, c’est aussi l’étude des mouvements, mais en prenant en compte les masses.
Géométrie des masses
Principe de la masse inerte
A toute particule, on associe une masse m invariante (c'est-à-dire indépendante de R), positive et additive.
Remarque :
Einstein avait introduit une masse variable :
avec .
On a finalement gardé comme définition de la masse (c’est la masse d’une particule dans son référentiel propre), et on a alors .
Schématisation d’un système matériel
Discrète
Continue
.
Donc
Centre d’inertie d’un système matériel
Définition
On définit le point G tel que ou .
Conséquence
.
Donc .
De même, .
Ainsi, G correspond au barycentre des points affectés de leur masse.
Exemples
On cherche la position de G.
Déjà, par symétrie, .
.
On a .
Donc .
Sphère de rayon R creusée par une sphère de rayon .
Toujours pour des raisons de symétries, on a ici .
On a .
De plus, où est le volume de la sphère de rayon R, celui de la sphère de rayon qui a été retirée.
Donc
Soit ,
: position du barycentre de la sphère complète .
: position du barycentre de la sphère retirée .
Enfin, .
Donc , soit (très proche de 0 quand même)
Moment d’inertie d’un système matériel
Définitions
Par rapport à un point O :
On pose , ou pour une distribution continue .
Par rapport à un axe D :
, ou .
Par rapport à un plan :
, ou .
Signification physique
Pour un solide en translation :
On a .
M représente donc le facteur de proportionnalité entre l’action de la force et son effet.
Pour un solide en rotation par rapport à un axe :
On verra que .
Ainsi, représente pour une rotation ce que la masse représente pour une translation.
Relations entre , et .
Expression en coordonnées cartésiennes :
On a ,
, et de même pour les autres axes
, et de même pour les autres plans.
Ainsi par exemple, , et .
D’où le théorème :
Le moment d’inertie en un point O est le somme des moments d’inertie par rapport à trois plans orthogonaux qui se coupent en O.
Le moment d’inertie par rapport à un axe est la somme des moments d’inertie par rapport à deux plans orthogonaux qui se coupent en .
Théorème de Huygens
On suppose que passe par G et est parallèle à .
Alors .
Ainsi, .
Démonstration :
On a :
Exemples
Sphère homogène
Pour une sphère de rayon R, masse M et masse volumique :
.
Calcul de :
Par symétrie, le moment d’inertie par rapport à un plan passant par O est le même quel que soit ce plan.
Donc .
Ainsi, .
Donc .
Application : moment d’inertie de la Terre :
Modèle sphérique homogène :
, .
Donc .
Moment d’inertie réel :
et .
Le modèle de la sphère homogène n’est donc pas convenable, on a en fait (ce qui explique le moment d’inertie plus faible)
, la Terre n’est donc pas tout à fait sphérique. (elle est un peu aplatie aux pôles, puisque la masse est répartie plus proche de l’axe équatorial que de l’axe polaire)
Parallélépipède rectangle homogène
.
De même on calcule , …
.
De même pour les autres…
Tige homogène
On suppose la dimension caractéristique de la section de la tige très inférieure à l. Ainsi :
Et .
Ainsi, ,
et .
.
Cylindre de révolution homogène
.
Donc .
.
On a par symétrie , et . Donc .
De plus, (vu pour la tige homogène)
Donc .
Cas du disque :
On a alors . Donc et .
Grandeurs cinétiques
Torseur cinétique
Définition
C’est le torseur du système de pointeurs .
Résultante cinétique
Définition :
ou .
s’appelle la quantité de mouvement ou impulsion.
Expression :
, donc
Soit .
Moment cinétique
Expression :
ou .
Remarque : on note parfois le vecteur .
Dans le cas général, on ne peut pas simplifier l’expression du moment cinétique comme pour .
Composition :
.
Torseur dynamique
Définition
C’est le torseur du système de pointeurs .
Résultante
Définition :
Expression :
On a .
Donc
Soit .
Moment
Composition : .
Dérivation par rapport au temps du torseur cinétique
Résultante
.
Donc . (attention, le système doit avoir une masse constante)
Moment
Par rapport à un point :
Cas général :
Soit .
Cas particulier :
Si A est fixe (c'est-à-dire qu’on calcule toujours le moment par rapport au même point), ou si , on a alors
Par rapport à un axe :
Cas général :
Cas particuliers :
Si est fixe, , et . Donc .
Si est de direction fixe passant par G, on a aussi .
Energie cinétique
.
Théorèmes de Koenig
Référentiel barycentrique
Définition
On considère un référentiel R absolu, , S un système quelconque (pas forcément solide).
On définit le référentiel barycentrique en translation par rapport à R et tel que G soit fixe dans .
On peut prendre par exemple .
Exemple
Intérêt
Il est plus facile de déterminer le mouvement des particules dans , puis il reste simplement à déterminer celui de G dans R.
Premier théorème de Koenig
Enoncé, démonstration
.
En effet :
On a .
Donc .
Remarque :
On n’a pas utilisé le fait que G est fixe dans , mais uniquement que G est le barycentre et que le référentiel est en translation.
Corollaire
On a , donc .
Troisième théorème de Koenig
(Le deuxième est : )
On a :
Et, comme :
Cinétique du solide
Solide en translation
S est alors fixe dans le référentiel barycentrique
Torseur cinétique
Résultante : .
Moment : .
On a donc un glisseur :
Ainsi, par rapport à un autre point :
.
Energie cinétique
On a (car ).
Solide en rotation autour d’un axe fixe
Moment cinétique
Par rapport à O :
,
Par rapport à :
Moment dynamique par rapport à .
Comme est fixe, on a
Energie cinétique
On a , soit .
(Equivalent pour la translation à )
Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe passant par G.
(C'est-à-dire en rotation dans autour d’un axe passant par G)
Exemple :
Moment cinétique par rapport à l’axe .
Energie cinétique
.
Récapitulatif :
K
Translation
Rotation autour de fixe
Rotation autour d’un axe de direction fixe passant par G.
Compléments
1er complément
On pose une échelle sur un mur, on suppose le mur et le sol très glissants :
Etude cinématique :
On note G le milieu de l’échelle (c’en est aussi le barycentre) :
On a (C’est la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse)
Ainsi, G décrit un arc de cercle dont le centre est O.
:
Si on suppose que l’échelle reste toujours contre le mur, on a un seul paramètre .
On a :
(pour le signe – : on doit donner l’angle de la direction fixe à la direction mobile et pas le contraire)
Soit .
De plus, , et donc .
Ainsi,
:
2ème complément
G : centre d’inertie du disque homogène.
Etude cinématique :
Si la pièce peut glisser, et peuvent varier indépendamment l’un de l’autre.
On suppose que la pièce roule sans glisser :
: point de contact, appartenant au disque.
Condition de roulement sans glissement : .
Donc , soit
Donc .
:
:
Opérateur d’inertie
Moment d’inertie par rapport à un axe passant par O.
(O : centre du cylindre)
On voudrait calculer …
Astuce :
( est unitaire)
On a
Et
Donc
On a :
Donc par intégration
( : produit d’inertie)
Opérateur d’inertie
où est l’endomorphisme de matrice la matrice précédente.
On appelle l’opérateur d’inertie ;
Axes principaux d’inertie
Définition :
Ce sont trois axes Ox, Oy, Oz tels que la matrice soit .
Exemples :
Parallélépipède rectangle :
Ox, Oy et Oz sont les axes principaux d’inertie :
On a donc la matrice
Pour un cube :
La matrice devient
Ainsi, le moment d’inertie par rapport à un axe passant par O ne dépend pas de l’orientation de l’axe.
Cylindre de révolution :
Par symétrie, Oz est un axe principal d’inertie.
On peut ensuite choisir Ox, Oy orthogonaux à Oz.
On a ainsi la matrice
Mouvement d’un solide S autour d’un point fixe O.
(O appartenant à S cinétiquement)
Moment cinétique :
Et
Donc
Energie cinétique :
Mouvement d’un solide autour d’un axe fixe
On a , et (O est toujours fixe)
Si Oz est axe principal d’inertie :
Si Oz n’est pas axe principal d’inertie :
On a donc un mouvement de précession :
Exemple d’application
(On suppose qu’on a roulement sans glissement)
est un axe principal d’inertie.
On peut prendre et pour les autres.
On a ainsi la matrice (avec le théorème de Huygens) :
On a .
Donc
Soit .
