Aspect energetique de la mecanique.docx

Aspect énergétique de la mécanique du point Travail d’une force. Théorème de l’énergie cinétique Puissance – travail élémentaire On considère un référentiel (R) et un point matériel, soumis à une force , qui se déplace de M à M’ infiniment voisins. Travail de sur ce déplacement : Puissance (instantanée) de  : Travail d’une force M se déplace de A vers B, soumis à une force dépendant éventuellement de la position et du temps. Travail de pour un déplacement de A à B Donc Exemples Forces perpendiculaires au déplacement Travail élémentaire de  : Donc Force constante On considère une force indépendante de la position et du temps (exemple : le poids à petite échelle) Force de frottement fluide proportionnelle à ?. Supposons que M se déplace à module de vitesse constante : Donc le travail de dépend du chemin suivi et de la vitesse. Remarque : n’est constante que si M se déplace à vecteur vitesse constant, et ainsi vérifie aussi Energie cinétique Définition Dans un référentiel (R), on considère un point matériel M de masse m, de vitesse . Alors Théorème de l’énergie cinétique On considère un référentiel (R) galiléen, un point matériel M de masse m soumis à une résultante des forces . On a : (R) est galiléen. Donc, d’après la relation fondamentale de la dynamique, Donc Ou soit Forme intégrale : , ou Application du théorème de l’énergie cinétique Saut à ski Un skieur part de A avec une vitesse nulle. Avec quelle vitesse décolle t’il en B ? (On néglige les frottements) Tir balistique indépendante du temps. D’après le théorème de l’énergie cinétique appliqué à M entre O et A : Energie potentielle Force conservative est dite conservative lorsque, pour tous points A et B de l’espace, ne dépend que de A et B et non pas de , soit Cas particulier : Pour une boucle fermée, Exemple : le poids, une force constante. Contre-exemple : frottement (pour une boucle,, et sinon dépend du chemin) Energie potentielle On considère une force conservative, et O fixe dans (R). est conservative. Donc On définit la fonction Ainsi, est l’énergie potentielle de M dans le champ de force . (On dit que dérive de l’énergie potentielle ) Soit une autre fonction énergie potentielle. Soit A un point de l’espace. Pour tout M de l’espace, on a : Donc Donc Définition différentielle : Pour un déplacement infinitésimal de M à M’, on a : Donc l’énergie potentielle est la fonction telle que Méthode : On calcule . Si on peut écrire sous la forme , alors est conservative et est une énergie potentielle. Exemples Energie potentielle de pesanteur Epp. Donc Energie potentielle élastique On note M se déplace dans le plan.  : tension du ressort Donc Energie mécanique Définition M est soumis dans (R) galiléen à forces conservatives d’énergies potentielles et forces non conservatives. On pose Théorème de l’énergie mécanique D’après le théorème de l’énergie cinétique appliqué à M dans (R) galiléen, on a : Ou En intégrant la première relation, on obtient : Cas particulier : un système est dit conservatif lorsque Intégrale première du mouvement L’intégrale première du mouvement, c’est l’équation différentielle du premier ordre obtenue par application du théorème de l’énergie mécanique pour un système conservatif. Ressort horizontal Bilan des forces : On a : D’après le théorème de l’énergie mécanique, L’altitude z ne change pas. Donc (intégrale première du mouvement) On a donc : L’équation différentielle du mouvement est donc : (cas sans intérêt) Pendule simple On a Donc D’après le théorème de l’énergie mécanique : Donc (cas sans intérêt) Utilisation de l’énergie potentielle pour l’étude du mouvement Dans cette partie, on ne considère que des systèmes conservatifs Applications - M a un mouvement rectiligne uniforme sur un axe , résultante des forces On a : et Donc - M décrit un mouvement circulaire de centre O, de rayon R, repéré par un angle. On a : et Donc Diagramme d’énergie potentielle Graphe de  : Position d’équilibre et stabilité M est à l’équilibre dans (R) galiléen la courbe de présente une tangente horizontale en cette position d’équilibre. Stabilité d’une position d’équilibre  : est croissante si, et seulement si Donc : Lorsque , l’équilibre est stable. Lorsque , l’équilibre est instable. Lorsque , on ne peut pas conclure. Etude qualitative du mouvement Donc  ; correspond à une barrière de potentiel que x ne peut pas dépasser . On a donc un mouvement borné : cuvette ou point de potentiel. Etude de petits mouvements autour d’un équilibre stable Développement de Taylor d’une fonction n fois dérivable Soit n fois dérivable, de dérivée n-ième continue en . Développement limité de F en à l’ordre n, formule de Taylor : Cas particuliers : Exemple : Développement limité de l’énergie potentielle au voisinage de x0, position d’équilibre stable. Formule de Taylor à l’ordre 2 au voisinage de  : Ainsi, au voisinage de  : Donc Donc on a donc un mouvement borné. A et B sont déterminés par les conditions initiales : Les caractéristiques du mouvement sont donc déterminées par les propriétés locales de l’énergie potentielle. Remarque : Donc h vérifie Donc . On a ainsi un mouvement non borné (du moins tant que l’approximation du développement limité reste valable) Application : le pendule simple Positions d’équilibre et stabilité : à l’équilibre, , soit Etude qualitative du mouvement : Pour des conditions initiales données , 1er cas : deux barrières de potentiel en et . Le pendule oscille entre ces deux valeurs (mouvement oscillatoire borné) 2ème cas : pas de barrière de potentiel. Donc . Donc garde un signe constant à tout instant. On a alors un mouvement de type fronde : Ici, Petits mouvements autour des positions d’équilibre stable Le seul équilibre stable est pour (il y a une position d’équilibre en mais instable) Développement de au voisinage de  : Donc Donc (pour proche de 0) On a donc une solution sinusoïdale de pulsation Portrait de phase Définition On suppose M en mouvement rectiligne, d’équation horaire (conditions initiales données). La trajectoire de phase est la courbe d’équation paramétrique : Plan de phase : Le portrait de phase est l’ensemble des trajectoires de phases pour des conditions initiales différentes. Propriétés A un instant t, si , x est croissante au voisinage de t Pour (si reste positive), . Ainsi, dans le plan d’ordonnées positives, les trajectoires vont de gauche à droite. Inversement, dans le plan d’ordonnées négatives, les trajectoires vont de droite à gauche. Si , x admet un extremum (c'est-à-dire une tangente verticale pour la trajectoire de phase), ou une tangente horizontale. Il n’y a pas en général d’intersections, au même instant t, entre les trajectoires de phase associées à des conditions initiales différentes : s’il y a une intersection en , alors l’équation différentielle aurait deux solutions si on prend comme conditions initiales, ce qui et impossible. (Mais on peut avoir une intersection si les deux trajectoires ne se coupent pas au même instant). Si la trajectoire est fermée, cela signifie que le point matériel a un mouvement périodique. Pour un mouvement avec frottements, (le système est alors non conservatif), l’énergie mécanique diminue. La trajectoire de phase donne : Application au portrait de phase d’un pendule simple Petites oscillations autour de  : , avec Donc (A : amplitude des oscillations) On a alors : Donc  ; la trajectoire est un cercle de rayon A : En faisant varier A, on obtient un autre cercle de centre O. En faisant varier , on obtient le même cercle décalé dans le temps. Si  : on a un mouvement de type fronde, garde un signe constant : (Les courbes ne sont pas forcément exactement sinusoïdales) Cas particulier . s’annule donc pour (ensuite, soit le pendule continue, soit il fait demi-tour) Cas  : on a un mouvement circulaire borné : Les trois graphiques regroupés forment le portrait de phase :