Transcript
Action exercée sur un système matériel
Torseur des actions
Répartition à densité volumique de forces
Définition
, .
Densité volumique de force
Exemple :
.
Résultante
Moment en A.
. Donc
Répartition à densité volumique de couple
Définition
Densité volumique de moment de couple
.
Exemple :
( : vecteur aimantation)
Pour dans uniforme :
, et .
Résultante
Moment
(indépendant du point car )
Cas général
Eléments de réduction
On peut décomposer le torseur d’un élément de volume en une somme d’un glisseur et d’un couple .
Moment
Exemple : tige fléchie
Actions sur l’élément :
En B :
Exercé par la partie droite sur l’élément :
, .
On a donc la somme d’un glisseur appliqué en B et d’un couple .
correspond aux forces dues à l’étirement.
Pour :
La partie gauche est soumise à son poids, mais ne tombe pas. compense cette force, ce qui correspond à une force de résistance au cisaillement.
Toutes les fibres n’ont pas la même longueur :
L’une des fibres n’est ni compressée ni étendue.
Celles qui sont au dessus travaillent en extension, celles qui sont en dessous travaillent en compression.
(Correspond à )
En A :
Forces exercées par l’élément sur la partie gauche :
Somme des actions :
Pour le moment en P :
On peut considérer que les droites d’action de et passent par P (à des termes d’ordre 2 près)
Ainsi,
Les quatre interactions fondamentales
Interaction gravitationnelle
En mécanique classique, elle s’applique sur les particules de masse non nulle
(En relativité, elle s’applique aussi sur des particules de masse nulle comme les photons)
Champ créé par une masse ponctuelle
Champ :
Une particule de masse m en P crée dans l’espace un champ :
(), où
Force :
Une particule de masse m’ en un point M interagit localement avec et est soumis à une force .
Ce n’est pas tout à fait la même chose de dire que les deux particules interagissent entre elles et que la particule m’ interagit avec . En particulier si la particule se déplace, il faudrait en fait que l’information du déplacement ait le temps d’arriver.
Champ créé par une répartition volumique de masse
Postulat d’additivité :
Propriétés (pour un champ de la forme en général)
Circulation conservative :
Flux non conservatif :
Théorème de Gauss : .
Application :
On creuse un tunnel passant par le centre de la Terre, on lâche un objet en haut. Relation fondamentale de la dynamique : .
Or, d’après le théorème de Gauss,
Donc , d’où . On a donc un mouvement oscillatoire.
Résultante des forces entre deux sphères homogènes :
On a
Interaction électromagnétique
C’est une interaction entre particules chargées
– Equations de Maxwell (déterminant le champ électromagnétique)
– Force de Lorentz (détermine le mouvement des charges)
Interaction forte
C’est une interaction entre hadrons (mésons + baryons)
Permet la cohésion des noyaux
Interaction à très courte portée ~1,5F ()
Interaction faible
C’est une interaction entre leptons (électrons, tauons, muons + neutrinos)
Elle intervient dans la radioactivité
Portée :
Beaucoup moins importante que l’interaction forte ()
Unification des interactions
Théorie électrofaible : unification des interactions électromagnétiques et faible (Salam–Weinberg)
Modèle standard : interaction électrofaible et forte (actuel)
Théorie ultime : intégrerait en plus la gravitation.
Actions de contact entre deux solides
Modélisation des actions de contact
On suppose les solides réels, mais que la surface de contact est suffisamment petite pour considérer que c’est un point et pour définir un plan tangent.
On étudie ici les actions de sur .
Observations expérimentales
Résistance au mouvement :
A l’interpénétration :
Au glissement :
Au roulement :
Au pivotement :
Les deux premiers correspondent à des résistances à la translation (normale et tangentielle), et les deux derniers à une résistance à la rotation (normale et tangentielle)
Influence de la surface de contact :
Pour la translation, la surface de contact n’a pas d’influence.
Pour la rotation, plus la surface est petite, plus la résistance est faible.
Aspect énergétique : dissipation d’énergie sous forme d’énergie thermique.
Analyse microscopique
Origine des résistances :
Vient des interactions entre les couches électroniques des atomes (forces de Coulomb/de Van der Waals) :
Modèle de la dissipation d’énergie :
L’atome qui se déplace en haut va pousser celui du bas jusqu’à ce que le ressort lâche ; tous les ressorts se mettent alors à vibrer et les vibrations se transmettent à l’intérieur du matériau.
Impossibilité du traitement microscopique : trop d’atomes à traiter.
Torseur des actions de contact
Contact entre solides réels :
Torseur :
, décomposé en un glisseur et un couple
Résultante :
: résistance à l’interpénétration
: résistance au glissement.
Moment :
: résistance au pivotement
: résistance au roulement
Contact entre solides idéaux :
On admet que ; il n’y a donc pas de résistance au pivotement ou au roulement.
Les actions de contact entre solides ne sont pas des forces données
Définition d’une force donnée :
C’est une force qui peut être calculée à partir de la position et de la vitesse du solide à un instant t.
Exemple : la gravitation, force de frottement fluide
Cas des forces de contact entre solides :
Dans les deux cas, la boule a la même position et la même vitesse, mais est différent.
Remarque :
On a dû utiliser le principe fondamental de la dynamique pour calculer , d’où le nom de force non donnée : on est obligé de connaître les autres forces pour la trouver.
Résistance au glissement
Loi d’Amontons : influence de la surface de contact
L’aire de la surface de contact n’a d’influence ni sur ni sur .
1ère loi de Coulomb : condition de contact
Quand est simplement posé (pas collé) sur , est dirigé de 2 vers 1. (Rappel : on étudie les actions de sur )
Rupture de contact :
2ème loi de Coulomb : glissement de sur .
Rappel :
.
Si , alors est colinéaire à de sens contraire, et .
Discussion :
1er point : on dit que le mouvement polarise la composante tangentielle
2ème point : plus N est important, plus T l’est ; aussi satisfaisant (si une table est plus lourde, on aura un N plus grand, et il y aura une plus grande résistance au mouvement)
f : coefficient de frottement dynamique.
Ordres de grandeur :
Chêne–chêne :
Chêne–chêne savonné :
Disque–plaquette :
Fonte–fonte graissée : fonte–fonte :
En général, .
3ème loi de Coulomb : loi du non glissement
Si (statique/roulement sans glissement/pivotement)
peut avoir une direction quelconque dans le plan tangent.
(Les autres forces polarisent l’action tangentielle)
: coefficient de frottement statique
Quand , le glissement commence.
On pose :
On a , et la loi de Coulomb s’écrit ainsi .
doit être dans le cône pour qu’il n’y ait pas de mouvement (cône de frottement)
Exemple
On considère que le contact est ponctuel (voir plus tard pour la justification)
A , , et F augmente.
On veut calculer T en fonction de F.
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit (pour un mouvement de translation, l’accélération ne dépend pas du point du solide)
Phase 1 : le solide ne se déplace pas.
On a donc , soit , donc
Soit , tant que , c'est-à-dire tant que ou .
Phase 2 : glissement.
. Comme , on a , et
Donc .
Allure :
Discussion :
En réalité, on a plutôt une courbe de la forme :
Juste avant que le solide se mette en mouvement, la force tangentielle est plus forte qu’une fois qu’il est en mouvement (ce qu’on observe lorsqu’on veut déplacer un objet lourd, et qu’une fois qu’on a réussi à le mettre en mouvement il « continue tout seul »)
Glissement sans frottement
C’est lorsque
Ainsi, donc
Attention :
Ne pas confondre le roulement sans glissement : et le glissement sans frottement : .
Validité des lois d’Amontons et Coulomb
Ce sont des lois empiriques
Il y a des écarts par rapport à ces lois.
Pour les lois de Coulomb : correspondent à un DL du premier ordre :
On sait que (plus la force normale est importante, plus il est difficile de déplacer l’objet), et pour on a , donc le DL à l’ordre 0 donne 0, d’où la loi
f et dépendent de N et de (pour f)
Contact non ponctuel
Lois de Coulomb
On admet qu’on peut appliquer les lois de Coulomb à et , c'est-à-dire à et .
Contact plan sur plan
Description :
On a trois degrés de liberté de par rapport à : deux degrés de translation, et un de rotation.
Si c’est uniquement une translation (comme dans la brique précédemment) :
est uniforme, et , .
On peut ainsi appliquer les lois de Coulomb à et .
Articulation rotoïde
Définition :
La surface de contact présente une symétrie de révolution par rapport à un axe :
n’a qu’un degré de liberté par rapport à .
Actions de contact
Glissement sans frottements :
La droite d’action de coupe (car ).
Donc , d’où .
Glissement avec frottements :
est de signe opposé à , donc .
Articulation sphérique
Description :
La surface de contact est une portion de sphère :
On a trois degrés de liberté (rotation propre, nutation, précession)
Glissement sans frottement :
, donc .
Articulation à la Cardan :
Le solide peut alors avoir trois degrés de liberté de rotation
Autres types de force de contact
Contact solide–fluide
Solide au repos
Solide en mouvement de translation
Faibles vitesses () : écoulement laminaire
(les lignes de courant sont stationnaires)
; f dépend de la viscosité du fluide et de la forme du solide.
Loi de Stockes :
Pour une boule de rayon R, .
: viscosité dynamique du fluide.
Vitesses « moyennes » () : écoulement turbulent
: masse volumique du fluide
S : maître–couple ; surface projetée du solide sur un plan orthogonal au mouvement
c : facteur de forme (), dépend de la forme du solide.
Actions de contact élastiques
Fil de torsion
On décompose le torseur des actions en un glisseur appliqué en A et un couple ( : moment de torsion)
( : axe du fil)
: valeur de lorsque le fil n’est pas tordu.
C : constante de torsion.
C’est une loi empirique, algébrique et le signe – indique qu’il s’agit d’un moment de rappel : le fil s’oppose à la torsion.
C dépend du fil, de sa section et de sa longueur :
En fait, on a . En effet :
La partie en A tourne de
La partie au dessus de A exerce sur AB un moment de torsion .
Le fil exerce sur l’opérateur (ou le solide) un moment de torsion , donc l’opérateur exerce sur AB un moment de torsion (principe d’action et de la réaction). Ainsi, comme on est à l’équilibre, (Rq : le moment de torsion est donc le même dans tout le fil)
Donc , soit .
Ressort linéaire
( : longueur du ressort lorsqu’il n’est pas étiré)
C’est aussi une loi algébrique, et correspond à une force de rappel.
Ici, k est aussi inversement proportionnel à .
Complément
Vitesse d’un canot
Expérimentalement, les canots de différentes tailles sont homothétiques l’un de l’autre : , , .
Pour n rameurs, on cherche la vitesse qu’on peut atteindre :
On considère que chaque rameur peut fournir une puissance . Pour n rameurs, on peut donc avoir une puissance , qui va contrer la puissance résistante (on suppose que le canot a atteint sa vitesse de croisière)
On a d’autre part une puissance résistante (on suppose que ), avec .
Enfoncement de la barque dans l’eau :
On néglige le poids de la barque devant celui des rameurs (qui ont tous une même masse)
Ainsi, d’une part, et d’autre part. Donc
Comme enfin , on obtient , ou
Expérimentalement, en traçant en fonction de , on trouve quasiment une droite de pente proche de 1/9, donc le modèle est correct.
