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Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien
E désigne ici un R-ev euclidien de dimension p, en est une base.
D est une partie de R, est une fonction de D dans E.
On note les fonctions de D dans R définies par
(On les appelle les fonctions coordonnées de F dans la base B)
Limite, continuité
Définition, proposition :
Soit un point adhérent à D, et de coordonnées dans B.
Définition, proposition analogues pour l’éventuelle limite en ou lorsque D est non majorée ou non minorée.
Définition et proposition analogues pour les éventuelles limites à droite ou à gauche en un point a de R tel que a soit adhérent à ou .
On établit aisément les résultats concernant les opérations classiques sur les fonctions vectorielles : si on des limites en un point a de adhérent à D, si et si a une limite finie en a.
Alors , , , et on des limites en a, qui sont respectivement :
, , , et .
Et dans les cas où E est orienté et de dimension 3, a une limite en a qui est
On a aussi le théorème de composition :
Si (avec ), si (avec ), si est adhérent à A et si a une limite en , alors a est adhérent à D, et si de plus F a une limite en a, alors a une limite en , qui est .
Définition, proposition :
Soit .
F est continue en a F admet une limite en a (c’est alors nécessairement )
, est continue en a.
(Définition, proposition analogues pour l’éventuelle continuité à droite/à gauche en a)
Définition, proposition :
F est continue sur D , F est continue en a.
, est continue sur D.
On justifie aisément les résultats attendus concernant la continuité et les opérations classiques sur les fonctions vectorielles…
On montre aussi facilement le théorème :
Si K est un segment de R, et si est continue sur K, alors F est bornée sur K (c'est-à-dire qu’il existe tel que )
On a en effet l’équivalence suivante :
F est bornée , est bornée.
Dérivabilité
Ici, I désigne un intervalle infini de R, on conserve les notations du début avec (ainsi, F est une fonction de I dans E)
Définition, proposition
Soit .
F est dérivable en a l’application a une limite en a.
, est dérivable en a.
Cette limite est alors notée ou , et on a .
Définitions, propositions analogues pour l’éventuelle dérivabilité et dérivée à droite ou à gauche en a, et pour la dérivabilité et la dérivée sur I.
Proposition :
(Rappel : I est un intervalle de R)
Si F est dérivable sur I, alors
Notions de dérivées successives, de classes de fonctions analogues aux définitions des fonctions réelles…
Opérations sur les fonctions dérivables en un point
Si sont dérivables en a, si et si est dérivable en a, alors , , et sont dérivables en a, et on a :
Et, dans le cas où E est de dimension 3 et orienté, est dérivable en a et :
.
Remarque :
On obtient ensuite par récurrence les formules de Leibniz pour et , lorsque F, G et sont de classe .
Théorème de composition :
Si , avec , si et si est dérivable en et F dérivable en , alors est dérivable en , et
Proposition :
Si est dérivable en a, et si , alors est dérivable en a, et :
En effet, , et en appliquant le théorème de dérivation pour la composition des fonctions réelles et :
Si (c'est-à-dire si ), alors est dérivable en a, de dérivée .
Proposition :
Si F est dérivable sur I, et si , alors
(c'est-à-dire )
En effet :
Si , c’est que , d’où le résultat.
Sinon, selon la propriété précédente, on peut écrire :
Exemple :
C est un cas particulier d’espace euclidien sur R. (de dimension 2, une base orthonormée étant par exemple la base , la norme euclidienne étant le module)
On a déjà traité le cas des fonctions d’une partie de R dans C (et on a dans ce cas une opération supplémentaire, à savoir la multiplication)
Pour tout , la fonction est dérivable sur R, de dérivée .
Lorsqu’on prend , cette fonction, est de module constant égal à 1, et sa dérivée lui est bien orthogonale.
Intégration
Proposition, définition :
Soit , continue. Alors la valeur de est indépendante du choix de la base . Cette valeur est par définition .
La définition peut s’étendre aux fonctions continues par morceaux…
Propriété : linéarité, relation de Chasles…
Théorème (admis) :
Si est continue (ou continue par morceaux), et si , alors :
Théorème :
Si I est un intervalle de R, et si est continue, alors la fonction est une primitive de F sur I, et c’est l’unique primitive de F sur I nulle en a.
Il en résulte que si est continue sur I, alors F admet une primitive G, et pour tous a, b de I, .
Conséquences : théorème d’intégration par parties, de changement de variables…
Remarque : La formule de la moyenne est fausse (Avec par exemple).
Inégalités et formules de Taylor diverses
Inégalité des accroissements finis :
Si F est continue sur , dérivable sur , et si il existe tel que , alors .
L’égalité des accroissements finis est fausse (voir encore avec )
Inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre :
Si F est de classe () sur , et si (qui existe d’après le I), alors
L’égalité de Taylor–Lagrange est fausse (elle est vraie dans R mais hors programme)
Formule de Taylor avec reste intégral (à l’ordre ) :
est de classe (), alors :
(Cette formule s’établit aisément grâce à des intégrations par parties successives, et donne ainsi une preuve de l’inégalité de Taylor–Lagrange grâce au théorème de majoration vu au III)
Formule de Taylor–Young (à l’ordre n) :
Si est de classe sur un intervalle I contenant 0, alors il existe , telle que et :
Développements limités
Définition :
Soient I un intervalle infini de R, , notons ou , et .
On dit que F admet un DL à l’ordre n en lorsqu’il existe une fonction et des éléments de E tels que :
Propriétés :
Unicité de l’éventuel DL à l’ordre n en .
Existence d’un DL à l’ordre n en existence de DL en à tout ordre .
Existence d’un DL à l’ordre 0 en existence d’une limite en
En supposant maintenant que (c'est-à-dire que ) :
Existence de DL à l’ordre 1 en dérivabilité en
(Mais ne s’étend pas aux ordres supérieurs)
F est de classe au voisinage de F a un DL à l’ordre n en
(Donné alors par la formule de Taylor–Young)
Opérations sur les DL :
Somme, produit par un scalaire : évident.
Pour les autres opérations : voir ce qui se passe dans chaque cas particulier.
