Fonctions lineaires.docx

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES I) Définition Définition On appelle fonction affine toute fonction de la forme f : x ax + b où a et b sont des réels fixés. Exemple La fonction f définie sur par f : x 3x – 2 est affine. Remarques Si b = 0, on dit que la fonction est linéaire. Ce type de fonction permet de traiter des situations de proportionnalité. Ce n’est qu’un cas particulier de fonction affine. Si a = 0, la fonction est du type f : x b où b est un réel fixé, elle est donc constante. Il s’agit d’une droite parallèle à l’axe des abscisses. II) Représentation graphique 1) Equation y = ax + b Définition La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = ax + b Exemple La fonction f : x 3x – 2 admet pour représentation graphique la droite d’équation y = 3x – 2. Définition 5278755180340(d2) 00(d2) Si f est une fonction affine de la forme f : x ax + b alors a est le coefficient directeur de la droite (pente) et b est l’ordonnée à l’origine. Exemple 3 est le coefficient directeur de la droite. -2 est l’ordonnée à l’origine. Remarque Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c où c est un réel fixé. Exemple x = 2 3975102890520(d1) 00(d1) -241304038600033337541148000-27305311658000-27305293624000-27305275590000-2730559182000-2730541148000-27305257556000-2730577216000-27305239522000-27305221488000-27305203454000-27305185420000-27305167386000-27305149352000-27305131318000-27305113284000-2730595250000-27305411480005137151673860O 00O 5137151403350 00 6940551673860 00 694055149352000694055167386000 2) Parallélisme Propriété Deux droites d’équations respectives y = mx + p et y = m’x + p’ sont parallèles si et seulement si m = m’. Exemple Soit (d1) et (d2) d’équation respective y1 = 3x – 2 et y2 = 3x +4 alors (d1) // (d2). III) Comment tracer une droite d’équation donnée ? 1) Par construction graphique On trace la droite passant par le point de coordonnées (0 ; b) et de coefficient directeur . Voir poly tracés. 289560-117284500 2) En plaçant deux points de la droite Pour tracer la représentation graphique d’une fonction affine d’équation y = ax + b : on choisit deux valeurs de x (en général 0 et une autre pas trop proche) ; on calcule les valeurs de y correspondantes ; on place les deux points de coordonnées (x ; y) obtenus ; on trace la droite passant par ces deux points. Exemple Dans un repère, tracer la droite (d) d’équation . 3) Droites d’équation x = c La droite d’équation x = c passe par le point de coordonnées (c ; 0) et est parallèle à l’axe des ordonnées. IV) Comment déterminer l’équation d’une fonction affine ? 1) Par lecture graphique Voir poly lecture graphique 2) Par calculs Dans un repère, on considère deux points A(xA,yA) et B(xB,yB) tels que xA xB. Le coefficient directeur a de la droite (AB) est . Exemple Déterminer l’équation de la droite (AB) avec A(-3 ; -13) et B(1 ; 3) L’équation de la droite (AB) est de la forme y = ax + b soit y = 4x + b Or est un point de cette droite donc : L’équation de la droite (AB) est donc Exemple Déterminer l’équation de la fonction affine sachant que : f(3) = 1 et f(5) = 9 1) On utilise les deux données du problème : Puisque f(3) = 1, alors f(x) = ax + b devient : 1 = 3a + b Puisque f(5) = 9, alors f(x) = ax + b devient : 9 = 5a + b 2) On résout par combinaison ou par substitution le système de deux équations à deux inconnues ainsi obtenu : (-) 2a = 8 a = = 4 3) On « injecte » la valeur de a dans l’une des deux équations pour obtenir b : 1 = 3a + b 1 = 3 4 + b 1 = 12 + b 1 – 12 = b -11 = b Soit V) Sens de variation d’une fonction affine Propriété Soit f une fonction affine définie sur par où a et b sont des réels fixés. Si , f est strictement croissante sur . Si , f est constante sur . Si , f est strictement décroissante sur . Exemples Soit définit une fonction strictement croissante car . Soit définit une fonction strictement décroissante car .