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Le champ électrique
La charge électrique
Définition – propriétés
On trouve deux types d’électricité dans les corps :
l’électricité résineuse (ambre)
l’électricité vitreuse (verre)
L’expérience montre que deux corps d’électricités différentes s’attirent, et deux corps de même électricité se repoussent. On attribue alors (arbitrairement) un signe – à l’électricité résineuse, et + à l’électricité vitreuse.
L’action électrique est une grandeur extensive ; on attribue à tout corps chargé une intensité de charge en Coulomb (C).
La charge est quantifiée :
, où e est la charge élémentaire,
(électron : charge –e ; proton : charge e)
Densité de charge
La quantification de la charge est insensible à l’échelle macroscopique. On peut donc la considérer comme une quantité continue.
Distribution volumique de charge
Charges réparties en volume :
( : volume mésoscopique)
On le note aussi , ou . .
Dans un volume V chargé de dimension macroscopique, on a alors :
Distribution surfacique de charges
(pour un conducteur par exemple)
On assimile cette distribution à une distribution surfacée en supposant que les charges ne sont présentes que sur la surface du corps chargé.
. .
Charge totale portée par une surface macroscopique S :
.
Distribution linéique de charges
On définit (densité linéique de charge)
.
Loi de Coulomb
Cadre de l’électrostatique
Les particules chargées sont assimilées à des points ponctuels de position M, de charge q. (condition : la distance entre les corps doit être très grande devant le dimension propre de ces atomes)
Tous les champs sont indépendants du temps. .
En particulier, sont indépendants du temps.
Loi de Coulomb
Soient deux charges ponctuelles en .
.
L’interaction électrique entre deux charges dans le vide est décrite par la loi de Coulomb :
.
K : constante caractéristique de l’attraction électrique ()
. : permittivité électrique du vide.
La loi de Coulomb reste valable dans un matériau isolant à condition de remplacer par , permittivité électrique du milieu.
( : permittivité relative du milieu, sans dimension)
pour le vide ; pour l’air ; pour l’eau.
Le champ électrique
Champ créé par une charge ponctuelle
.
On pose .
est défini en tout point de l’espace. On l’appelle le champ électrique créé au point M par la charge Q en A.
Ainsi, .
Interprétation :
La charge Q crée un champ dans tout l’espace et c’est ce champ qui interagit localement en M avec une charge q.
( ici)
C’est un champ radial, c'est-à-dire que les lignes de champ sont des ½ droites d’origine Q. Les surfaces équipotentielles sont ici les sphères centrées en Q.
Principe de superposition des champs créés par une distribution de charges quelconques
Distribution discrète
On considère un ensemble de charges en , .
Définition :
Le champ créé par en M est défini par :
Ainsi, .
Ainsi, le champ créé par les n charges est la superposition des champs créés par chacun des champs agissant seuls.
Distribution volumique de charges
peut être considéré comme une charge ponctuelle.
. Cette charge, située en P, crée en M un champ électrique ou .
D’où :
Ce champ existe en l’absence de charge en M, mais si on ajoute une charge q en M,
Distribution surfacique de charges
L’élément est une charge ponctuelle en P qui crée un champ en M : .
D’où
Distribution linéique de charges
Symétries
Symétries et antisymétries de la distribution de charges
On considère une distribution de charge volumique
Rappel : rotation d’axe orienté et d’angle :
On considère une isométrie s :
Alors :
s est une symétrie pour pour tout point P de l’espace, .
s est une antisymétrie pour pour tout point P de l’espace, .
(où )
Exemples :
, sont des symétries pour cette distribution de charges.
, sont des antisymétries.
Les symétries sont toutes les rotations d’axe et d’angle ; c’est une symétrie cylindrique. Pour tout plan P contenant , est aussi une symétrie (on dit aussi que P est un plan de symétrie pour )
Symétrie et antisymétrie plane : direction de .
Théorème (admis)
Si est un plan de symétrie pour , alors c’en est aussi un pour , (c'est-à-dire que pour tout point P de l’espace, ; : symétrie plane vectorielle)
Cas particulier :
Si , alors
Et , d’où
Ainsi, en tout point M de , est parallèle au plan.
Autre théorème
Si est un plan d’antisymétrie pour , alors est un plan d’antisymétrie pour . ()
Cas particulier :
Si , alors , et , soit .
Donc est perpendiculaire au plan en tout point M du plan.
Exemples
Tout les plans qui contiennent sont des plans de symétrie pour .
Si , alors .
On choisit deux plans , distincts contenant .
Alors , donc
Distribution linéique de charge .
Le plan est un plan de symétrie pour :
Si P est un point du cercle,
Sinon,
Ainsi, pour , .
De même, si , .
Invariance par symétrie : dépendance avec les variables d’espace
Invariance par translation de direction .
Définition :
est invariante par translation de direction est une symétrie pour .
Exemple :
Un fil infini uniformément chargé, de densité linéique de charge constante. Cette distribution est invariante par toute translation de direction .
Théorème :
Les coordonnées cartésiennes du champ ne dépendent pas de la coordonnée repérant la position dans la direction d’invariance : ici, z.
Ou :
Démonstration :
, pour points de l’espace, on a .
C’est une symétrie pour .
Donc
(Un vecteur est inchangé par translation…)
Ainsi,
Et en projetant, on trouve le résultat voulu.
Remarque :
En coordonnées cylindriques , de base locale :
Invariance par rotation autour de
On dit que possède une symétrie cylindrique par rapport à lorsque est invariante par toutes les rotations .
Théorème :
Les composantes cylindriques sont indépendantes de (attention, en dépend quand même par l’intermédiaire de )
Invariance par rotation d’axe passant par O.
On dit que possède une symétrie sphérique lorsque pour tout axe passant par O, pour tout angle , est symétrique pour .
Théorème :
Les composantes sphériques de () ne dépendent que de ; on a même . (Voir chapitre 3 pour les coordonnées sphériques)
Exemple : Une charge ponctuelle.
Calculs de champ
Champ électrique créé par un segment uniformément chargé dans son plan médiateur
On prend un segment , de longueur , un point M appartenant au plan médiateur.
On représente ici le plan passant par :
constante.
Direction de
est un plan de symétrie.
Comme , on a , ou .
est aussi un plan de symétrie.
Comme , on a , ou
Ainsi, (puisque )
est aussi un plan de symétrie.
On note . Comme P est un plan de symétrie, on a :
, soit .
Donc est une fonction impaire.
Calcul de Ez.
On considère un élément infinitésimal de fil repéré par le point P d’abscisse ou x, et de longueur . Cet élément crée en M un champ :
, où
Donc .
Or, .
Donc ; .
Donc :
Une primitive de est .
Donc
Soit .
Si , le segment correspond alors à une charge ponctuelle.
Vérification :
Champ créé par un disque uniformément chargé
On considère un disque d’axe , de rayon R, ayant une distribution uniforme de charge constante.
On cherche le champ en .
Symétries
est un plan de symétrie pour , et M est dans ce plan.
Donc
De même avec ,
Donc
Calcul de Ez.
Découpage de la distribution de charges :
On considère un élément infinitésimal repéré par et de longueur . Cet élément a pour aire (en assimilant les arcs à la corde correspondante, de longueur ).
Il porte la charge .
.
Donc , et
Donc
Donc
Ainsi, en intégrant d’abord par rapport à :
Une primitive de est
Donc
Soit
Lorsque (et ) :
