Transcript
Le champ électrostatique
Loi de Coulomb pour deux particules élémentaires
Postulat de la charge
A toute particule élémentaire, on peut associer une grandeur scalaire q :
Invariante par changement de référentiel
Conservative :
On a (ou, macroscopiquement : )
Algébrique : positive ou négative (ou nulle)
Loi de Coulomb
Enoncé
On considère une charge fixe dans un référentiel R.
Cette charge en P modifie l’espace autour d’elle et crée en M un champ où .
: permittivité du vide ; (en ) ; c’est une valeur exacte.
On a
On considère une charge fixe ou mobile en M.
Cette charge subit alors une force
Discussion
La loi reste valable en relativité
C’est une loi fondamentale de la physique.
Si se déplace, est variable et il y a en plus un champ .
Principe de superposition
On admet (principe) que créé par des charges vérifie .
Loi de Coulomb macroscopique
Du microscopique au macroscopique
On note (rappel : la barre désigne une valeur moyenne)
Champ microscopique
Les charges ont une vitesse d’agitation , et produisent donc un champ électromagnétique ,
Champ macroscopique
On a
On retrouve donc un champ coulombien.
On a de plus
Ainsi, les particules sont mésoscopiquement au repos.
Le champ électrostatique macroscopique
On a
Schématisation volumique
On a
Si M est extérieur à V, l’intégrale converge.
Sinon :
On considère que est borné ()
Alors , où est le champ créé à l’intérieur d’une petite boule de rayon R, et par le reste de la distribution, qui converge.
On va montrer que est borné :
Donc est borné, et l’intégrale converge.
Donc E est défini aussi dans la distribution.
Schématisation surfacique
On a
Le champ diverge lorsque M est un point de la surface.
Schématisation linéique
Schématisation discrète
On a ,
Potentiel électrostatique, rotationnel du champ E.
Potentiel électrostatique
Charge ponctuelle
Une charge q placée en P produit en M un champ :
Donc où .
Répartition volumique de charges
Expression :
correspond à une dérivation par rapport à r et est donc indépendant de P
Ainsi,
Où
Convergence de l’intégrale :
A l’extérieur de la distribution, on a bien convergence.
A l’intérieur, on applique la même méthode que pour le champ :
Dans une petite boule de rayon R, le potentiel créé est majoré :
Donc l’intégrale converge sur la petite boule, et aussi en dehors, donc V est défini sur la distribution.
Répartition surfacique de charge
Expression du potentiel :
V est aussi défini sur S :
, ou converge et :
V est continu à la traversée de la répartition :
En coupe,
On a
peut être rendu aussi petit qu’on veut :
Il suffit de prendre 1 et 2 suffisamment proches l’un de l’autre.
On a de plus , ,
Et . Donc , soit
Remarque :
V n’est pas défini sur la distribution pour une distribution linéique ou discrète.
Circulation de E.
On a , donc
Et
Surfaces équipotentielles, lignes de champ
Définition
Equipotentielle :
C’est un domaine d’équation (en général, c’est une surface)
Lignes de champ :
C’est une courbe telle que est tangent à : le long de , et est orienté par :
Propriétés
Les lignes de champ sont normales aux équipotentielles :
Pour tout sur l’équipotentielle, , donc , et est bien normal à l’équipotentielle.
Le potentiel décroît le long d’une ligne de champ :
On a , donc
Rotationnel de E.
Première équation locale du champ
On a :
.
Discussion
La relation n’est valable qu’en électrostatique (sinon, )
est à circulation conservative.
Elle est valable pour tout champ en .
Théorème de Gauss et divergence de E.
Théorème de Gauss
Préliminaire
Flux du champ créé par une charge ponctuelle à travers une surface quelconque :
On a
Soit
Flux de E à travers une surface fermée
Charge ponctuelle :
Si q est intérieur à , on a , donc
Si q est extérieur à :
On a , et donc en intégrant , soit .
Ensemble de charges ponctuelles :
On a . Donc
Répartition volumique :
On a
Ainsi, la formule devient
Théorème de Gauss
Théorème de Earnshaw
Enoncé :
Il n’existe pas d’extremum absolu de potentiel dans une région de l’espace vide de charge.
(Extremum absolu : la dérivée est nulle et la fonction est (dé)croissante dans toutes les directions de l’espace ; Extremum relatif : la dérivée est simplement nulle – comme pour une selle de cheval par exemple)
Démonstration :
Si on a par exemple un maximum absolu en M, alors toutes les lignes de champ partent du point M (puisque V décroît le long d’une ligne de champ)
Ainsi, , donc il y a une charge en M.
Conséquence :
On ne peut pas confiner la matière avec un champ électrostatique.
Ceci a déjà été vu quand on a remarqué qu’il ne pouvait pas y avoir d’équilibre stable dans une configuration de la forme :
(Où Q, 4Q sont des charges fixes et q mobile)
Et ce quel que soit le signe des charges, ou même si on ajoute d’autres charges fixes autour de q.
Divergence de E.
Deuxième équation locale du champ
On a
Donc
(On dérive uniquement par rapport à M)
Or, . Donc
Et , ou
Discussion
L’égalité est encore valable pour des charges mobiles ou même pour un champ qui n’est pas créé par des charges.
On aurait pu montrer l’égalité à partir du théorème de Gauss.
Un champ en (par exemple) ne vérifierait pas l’équation. En fait :
Cas d’une charge ponctuelle
Pour , , la divergence est nulle partout sauf sur la charge où elle n’est pas définie.
Cas d’une répartition surfacique/linéique
C’est la même chose.
Remarque :
On peut aussi appliquer le théorème de Gauss pour la gravitation avec la correspondance
Relation de passage à la traversée d’une distribution surfacique
Potentiel V.
On a vu que pour une distribution bornée, V est défini et continu sur la surface.
Champ E.
De la schématisation volumique à la schématisation surfacique
Densité :
Donc
Ainsi, est en réalité défini sur la surface (c’est à cause du modèle qu’il est divergeant)
On a donc une relation en 0 :
On va montrer que
C'est-à-dire qu’il y a continuité de la composante tangentielle de E et discontinuité de la composante normale.
Continuité de la composante tangentielle
On a ,
Donc soit
Ou
Donc sur
Soit (on n’a utilisé que le fait que )
Discontinuité de la composante normale
On a
Soit ( : flux latéral)
Lorsque les deux parois sont très proches :
,
Donc
Ou
(On n’utilise ici que le fait que )
Relation de passage globale
.
Equations locales pour V.
Expression
Equation de Poisson
Equation de Laplace
Dans une région où , on a
Remarque :
On a , donc toutes les dérivées ne sont pas de même signe (on retrouve le théorème de Earnshaw)
Résolution
Conditions aux limites
Dirichlet :
La solution de l’équation est unique (si on la trouve !)
Neumann :
Alors la solution est unique à une constante additive près.
Commentaires
On a ainsi deux méthodes pour calculer V :
L’utilisation de la loi de Coulomb
Mais il faut connaître sur tout l’espace.
Equation de Poisson
On n’a besoin de que sur un domaine
Récapitulatif :
ou
Circulation conservative.
Circulation conservative
Flux non conservatif
Théorème de Gauss :
Exemples de champs et potentiels particuliers
Méthodes de calcul de E.
Calcul direct :
3 intégrales scalaires à priori.
Calcul par le potentiel :
Plus commode car V est scalaire.
On a deux méthodes pour calculer V.
Pour calculer ensuite, il faut V tout autour.
Utilisation du théorème de Gauss :
Applicable uniquement avec beaucoup de symétries.
Champ E uniforme
Si
Densité de charge :
Potentiel : , donc
Répartition volumique uniforme entre deux plans parallèles
Symétries :
Invariance par translation orthogonale à Ox.
Donc V ne dépend que de x, et .
Invariance par symétrie par rapport à
Donc . Donc
Calcul de :
Pour :
On a
Et (paroi de gauche) car ,
car ,
Donc
Si , , donc , soit
Si , , donc
Lorsque et mais de sorte que :
Fil rectiligne uniformément chargé
Symétries :
Translation d’axe Oz.
Rotation autour de z.
Ainsi, V ne dépend que de r, et
Calcul du champ :
.
On a , soit .
Donc
Calcul du potentiel :
Calcul direct :
On a
On fait le changement de variable ,
L’intégrale est donc divergente.
Calcul par le champ :
Donc
Disque uniformément chargé
Champ sur l’axe
On a . Une surface dS crée en M un champ , soit .
Donc . Pour une petite bande, .
On a , .
Donc
(Pour )
Si , on a un champ proche de celui créé par une charge ponctuelle.
Champ au voisinage de l’axe
On a
On a une symétrie de révolution : donc V ne dépend que de r, z.
Donc
Champ à l’ordre 1 en r :
Première méthode :
En connaissant (il n’y a pas de charge en M), on peut calculer .
Autre méthode :
Circulation de :
On a
Donc
Donc en considérant l’ordre 0,
(Attention : on ne peut pas écrire que car le membre de droite ne correspond à un DL qu’à l’ordre 0 en r.)
Flux de :
On a
Soit (au premier ordre)
Donc
D’où , puis
Remarque :
On n’a utilisé ici que des symétries de révolution pour appliquer le raisonnement (et le fait qu’il n’y a pas de charge là où on l’applique)
On verra que ce type de résultat s’applique aussi en magnétostatique.
Complément
Détermination de la répartition de charge à partir du potentiel :
On suppose que , où q et a sont des constantes.
Analyse
La répartition de charge possède une symétrie sphérique.
On pourrait utiliser la formule , mais il faut connaître en coordonnées sphériques ; on a peut-être aussi une répartition surfacique, qu’on ne pourrait pas trouver avec cette formule.
Champ E.
On a :
Calcul de .
On a ()
Calcul de .
On a (répartition de charge entre deux sphères de rayons r et r+dr)
Donc
Problème :
On a trouvé que , et
Donc d’après le théorème de Gauss (dans « tout l’espace »),
Ainsi, il y a forcément une charge ponctuelle en O (qui n’a pas été « détectée » par les sphères successives), qui compense ainsi exactement toute la distribution à l’extérieur.
Charge ponctuelle
On a . On a donc une charge q en O, et une charge –q répartie selon .
Commentaires
On aurait très bien pu trouver des distributions surfaciques avec cette méthode (on aurait sur la surface)
Cette répartition modélise l’atome d’hydrogène.
Interaction forte :
Yukawa : l’énergie potentielle de l’interaction forte vaut
, où .
