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Fiche Démonstration Relation d’Al-Kashi lycée
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Etant donné un triangle ABC, on désigne par :
a, b et c les longueurs des côtés opposés aux sommets A, B et C.
cosA et sinA les cosinus et sinus de la mesure entre 0 et ? de l’angle du triangle (notons que sinA est toujours positif).
La relation d’Al-Kashi
Dans un triangle ABC, on a les relations :
=+?2bccosA
=+?2accosB
=+?2abcosC
Démonstration :
=? d’où =+?2.
Comme . =cos, nous obtenons avec les conventions précédentes la relation d’Al-Kashi (ou encore relation de Pyhtagore généralisée) :
=+?2bccosA.
Formule de l’aire et loi des sinus
Etant donné un triangle ABC, l’aire S du triangle est calculée par :
S=bcsinA=acsinB=absinc (formule de l’aire)
Par ailleurs : == (loi des sinus)
Démonstration :
Dans les situations et , on a l’égalité = .
Par suite, dans le triangle AHC, rectangle en H, sin A=, soit HC=bsinA
Dans la situation , et sont supplémentaires et ont donc le même sinus :
sin A= et là encore HC=bsinA.
Dans la situation , HC=AC=bsinA (car est droit).
Dans tous les cas, HC=bsinA.
L’aire S du triangle ABC est calculée par S=AB×HC, et vaut : S=bcsinA
On obtient de même : S=acsinB et S=absinC.
A partir des égalités 2S=bcsinA=acsinB=absinC
en divisant par abc : ===
ou encore ===
