Droites paralleles.docx

Fiche Démonstration Droites Parallèles Collège Démonstration de la propriété : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Soit un triangle ABC et I le milieu de [AB]. La droite passant par I et parallèle au côté [BC] coupe le côté [AC] en J. Soit E le symétrique de J par rapport à I, donc I est le milieu du segment [EJ]. Les diagonales du quadrilatère AJBE se coupent en leur milieu I, donc AJBE est un parallélogramme. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur, donc AJ=EB et (EB) // (AJ), donc (EB) // (AC) car J ? (AC). On a (EB) // (AC), donc (EB) // (JC) et (EJ) // (BC). Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc EBCJ est un parallélogramme. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur, donc EB=JC. Puisque EB=AJ et EB=JC alors AJ=JC ; et comme J ? (AC), alors J est le milieu de [AC]. Fiche Démonstration Droites Parallèles Collège Démonstration de la propriété : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. Soit un triangle ABC, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. Soit M le symétrique de J par rapport à I, donc I est le milieu de [MJ]. Le quadrilatère AMBJ a ses diagonales qui se coupent en leur milieu donc c’est un parallélogramme. Ses côtés opposés (AJ) et (MB) sont parallèles ; donc (AC) // (MB) car J ? [AC]. Puisque J est le milieu de [AC] alors AJ=JC. Et puisque AMBJ est un parallélogramme, alors MB=AJ ; donc MB=JC Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. Donc le quadrilatère MBCJ est un parallélogramme. Donc on a bien (MJ) // (BC) et par suite (IJ) // (BC).