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Fiches maths
Techniques analyse fonctions :
O Mq g prolongeable par continuité en 0 on prouve que g admet une limite en 0 ( on peut la mettre sous forme de taux de variation )
O Montrer qu’on ne peut avoir g’(x) > 0 pour tout x dans ] 0 , 1 [ on calcule g’(1) et on raisonne par l’absurde . On conclut que g’(x) ? 0
O Mq g’ s’annule nécessairement sur ] 0 , 1 [ on fait pareil que question d’avant sauf qu’on montre qu’il existe x , g’(x) ? 0 donc comme g est continue sur l’intervalle elle vaut forcément 0 à un moment .
O Si on a ƒ ’(c) = ƒ (c) / c . Interpréter géométriquement : ƒ(c) – ƒ( 0 )
f’(c) = --------------
la courbe de f passe par les points ( 0 , ƒ( 0 ) ) c – 0
et ( c , ƒ ( c ) )
O Montrer que la restriction de la fonction cosinus à [ 0 , ? ] est une bijection de [ 0 , ? ] sur un intervalle à déterminer On montre que f ( ou cosinus c’est pareil ) est continue sur l’intervalle donc elle induit une bijection et l’intervalle à déterminer c’est [ f ( 0 ) , f ( ? ) ]
O Calcul de cos ( arcos x ) puis sin ( arcos x ) On se sert du fait que cos ( arcosx ) = x ????
Ensuite on utilise les deux trucs et on les met au carré pour avoir 1 . On fait passer le x² de l’autre côté et c’est bon .
O En quels points la fonction arcosinus est elle dérivable ? On dit qu’elle est dérivable que quand cos ‘( arcos y ) ? 0
O Calculer le DL1 ( 0 ) de la fonction arcosinus
arcos x = arcos (0) + x(arcos)‘(0) + o(x)
O Si on nous demande si une fonction est injective ( par exemple exp(x) + exp(-x) / 2 )
On panique pas , il suffit de montrer que deux éléments du domaine de définition ont une image commune .
O Mq sa restriction à [ 0 , + ? [ admet une réciproque On mq sa restriction ( g ) est strictement croissante sur cet intervalle ( en calculant g’ ) et continue , ( suffit de dire que c’est la somme etc …) et utilisation du THM de la bijection ( dire où elle est définie )
O Pour quelles valeurs de y , réciproque de g admet une dérivée ? on cherche quand g’ s’annule .
O Réciproque de g en fonction de y ? on résout g ( x ) = y .
Pour les exp(x) on pourra utiliser un X en mettant sous la forme de polynôme .
Et les reciproque de g obtenue en prenant solution de l’équation ( on doit avoir x en fonction de y ) .
Dérivées n-ième
O de sin x : sin ( x + n ?/2 ) car sin ( x + ?/2 ) = cos x
11430016002000
Chapitre 2
Definitions :
Ensemble fini , dénombrable
Combinaison sans répétition
Combinaison avec répétition
Permutation
Propositions :
Il existe une bijection de E dans F ssi ?
E inclus dans F => ?
E = F ?
ƒ injective ?
ƒ surj. ?
ƒ bij. ?
Nombre de combinaisons
Nombre d’applications ou de suites strictement croissantes
Nombre de parties d’un ensemble
Formule du crible ( ou de Poincaré )
Formule de Vandermonde
Nombre de combinaisons avec répétition
Card(E^p) = ?
Nombre de p-listes : - d’éléments de E
d’éléments distincts de E
de permutations d’éléments de E
Nombre d’applications , d’injections , de bijections
Propriétés :
Propriétés des cardinaux ( y’en a 3 )
Propriétés des combinaisons ( y’en a 10 )
Chapitre 3
Définitions :
Suite
Egalité , suites constantes , stationnaires
Suite extraite ( ou sous suite )
Suite arithmético-géométrique
Suite linéaire d’ordre 2
Convergence / Divergence
Suite tendant vers + ? ou - ?
Divergence de première espèce / de deuxième espèce .
Suite croissante / décroissante
Suites adjacentes
Négligeabilité , équivalence
Théorèmes :
Unicité de la limite
Limite d’une suite extraite
Caractérisation de la limite par les suites extraites
Opérations sur les limites
Passage à la limite dans les inégalités
Encadrement des limites
Théorèmes sur les suites adjacentes
Théorème sur les suites monotones
Théorème sur les suites équivalentes
Caractérisation séquentielle de la limite
Propositions
Racines réelles de l’équation caractéristique de la suite
Racines complexes de l’équation caractéristique de la suite
1. 2. 3.
CN pour qu’une suite converge
Divergence de la série harmonique
Approximations décimales
Propriétés des suites équivalentes ( 10 )
Propriétés des suites négligeables ( 5 )
Corollaires :
CS pour q’une suite diverge
Si la suite converge alors
Si lim | …| ? 0 alors la suite diverge
Si la suite est majorée à partir d’un certain rang
Si la suite est minorée à partir d’un certain rang alors
Tout réel peut s’écrire comme ?
Chapitre 4
Définitions :
Loi de composition
Espace vectoriel
Sous espace vectoriel
Combinaison linéaire
Vecteurs colinéaires
Famille génératrice
Famille libre
Base
Application linéaire
Forme linéaire , endomorphisme , isomorphisme , automorphisme
Matrice d’une application linéaire
Image et noyau
Image d’une famille de vecteurs par une application linéaire
Opérations élémentaires sur les familles de vecteurs
Rang d’une famille de vecteurs
Droites , plans et hyperplans
Rang d’une application linéaire
Espaces vectoriels isomorphes
Dimension
Théorèmes
Caractérisation d’une application linéaire injective
Caractérisation d’une a.l surjective
Théorème sur les cardinaux des familles libres et génératrices
Théorème de la dimension
Caractérisation des bases
Théorème de la base extraite
Théorème de la base incomplète
Théorème sur les sous espaces supplémentaires
Existence des supplémentaires
Caractérisation en dimension finie des a.l injectives , surjectives , bijectives
Théorème du rang
E et F sont isomorphes ?
Propositions
Propriété caractéristique des sev
Sev engendré par une famille de vecteurs
Rajouter / Enlever un vecteur à une famille génératrice ( 2 )
Exemples de familles libres
Exemples de familles liées
Caractérisation d’une famille liée
Enlever un vecteur à une famille libre
Rajouter un vecteur à une famille liée
Propriétés d’une a.l ( 4 )
Structure de l’image et du noyau d’une a.l
Image d’une famille génératrice par une a.l
Opérations sur les al
Structure de L(E,F) et de L( E )
Distributivité de la composition par rapport à la somme pour les al
Formule du binôme
Réciproque d’un isomorphisme
Rang et nature d’une famille de vecteurs
Dimension d’un sev
Caractérisation de l’égalité de 2 sev
Somme et somme directe de deux sev , sev supplémentaires
Constriction d’une famille génératrice de F+G
Dimension de la somme directe de 2 ev
Corollaires :
Si on ajoute un vecteur de F à une famille génératrice de F alors ?
Continuité :
Définitions :
Continuité en un point DL0
Continuité sur un intervalle
Continuité par morceaux
Théorèmes :
Somme , produit , quotient de fonctions continues
Composée de fonction continues
Caractérisation séquentielle de la continuité
Théorème fondamental
Théorème des valeurs intermédiaires
Thm de la bijection
Dérivées
Définitions
Fonction dérivable en un point
Dérivée à droite à gauche .
Dérivabilité sur un intervalle
Dérivées d’ordre supérieur
Théorèmes
Continuité d’une fonction dérivable .
Opérations sur les dérivées .
Dérivée d’une composée
Dérivée de la réciproque
Formule de Leibniz
Opérations sur les fonctions de classe Cp et Coo
Théorème de Fermat ( I ouvert , extremum local en a )
Théorème de Rolle ( a < b , f(a) = f( b ) )
Théorème des accroissements finis
Corollaire 1 : Inégalités des accroissements finis ( si il existe m tq m < f’(x) …. )
Corollaire 2 : … le même avec I et I rond et | f(b) – f(a) | < M | b – a |
Théorème de caractérisation des fonctions monotones dérivables .
Théorème de caractérisation des fonctions C1
Théorème de prolongement des fonctions C1 ( f pas def. en a et C1 sur ]a , b ] avec lim….
alors f admet un prolongement de classe C1 sur [a,b]
Théorème de caractérisation des fonctions de classe Cp
Théorème de prolongement des fonctions Cp
Fonctions convexes
Définition :
fonction convexe
Point d’inflexion
Théorèmes
Théorème de caractérisation d’une fonction convexe
Propriétés des fonctions convexes
Théorème de caractérisation d’une fonction convexe de classe D1
Théorème de caractérisation d’une fonction convexe de classe D2
Caractérisation d’un point d’inflexion pour une fonction C2
Développement limités .
Définition :
Développement limité en a
Théorème
Formule de Taylor Young .
