Les equations de Maxwell.docx

Les équations de Maxwell Postulats de l’électromagnétisme Postulat de Lorentz Dans un référentiel R galiléen, une charge q animée d’une vitesse est soumise à une force, appelée force de Lorentz : Ce postulat définit en même temps et (qui, on le verra plus tard, dépendent du référentiel) Postulat de Maxwell Dans un référentiel R galiléen, une distribution de charges et de courant produisent un champ électrique et un champ magnétique qui satisfont les équations suivantes : A la divergence , équation de Maxwell–Gauss (MG) , équation de Maxwell–Flux () Au rotationnel , équation de Maxwell–Faraday (MF) , équation de Maxwell–Ampère (MA) Discussion C’est un système d’équations différentielles, qui à partir d’une distribution de charges et de courant permet de déterminer dans tout l’espace à chaque instant. Dans les conditions réelles (les distributions sont d’extension finie), on impose en plus , Remarque : Si est solution des équations de Maxwell, alors où est un champ uniforme et stationnaire est aussi solution. On retrouve les équations de l’électrostatique et de la magnétostatique. Ce sont des équations macroscopiques, mais elles sont toujours valables lorsqu’on se place à l’échelle microscopique. Ces équations sont valables aussi dans les milieux : , On a deux grands groupes d’équations de Maxwell : Les équations à la divergence, qui ne couplent pas et Les équations au rotationnel, qui couplent et . Ainsi, dans le cas général, on ne peut pas découpler les deux champs. (C’est pourquoi on parle d’un champ électromagnétique) Ces équations sont relativistes. Relativité galiléenne : Toutes les lois de la mécanique sont invariantes par changement de référentiel galiléen. Relativité einsteinienne : Toutes les lois de la physique sont invariantes par changement de référentiel galiléen. On va voir que le postulat de l’électromagnétisme implique nécessairement que la vitesse de la lumière est la même dans tout référentiel galiléen. Contenu physique des équations de Maxwell Conservation de la charge Equation de Maxwell–Ampère : Ainsi, en passant à la divergence : Mais , donc l’équation devient Ainsi, les équations de Maxwell sont compatibles avec le postulat de conservation de la charge (qui est en fait un postulat indépendant : on a fait en sorte dans les équations que ce postulat soit vérifié) Equation de Maxwell–Gauss On a , donc Le théorème de Gauss est donc toujours satisfait. Equation de Maxwell–Flux On a Donc est toujours à flux conservatif. On remarque qu’on n’a pas d’analogue de pour un champ magnétique : on n’a jamais mis en évidence de « charge magnétique ». Equation de Maxwell–Faraday On a (Homogène !) En général, n’est pas à circulation conservative, et ne dérive donc pas d’un potentiel scalaire. On a ainsi deux sources de champ  : Les charges La variation de On verra que c’est à l’origine de phénomènes d’induction électromagnétique et de propagations des ondes électromagnétiques. Structure de  : On peut écrire , où serait le champ produit par des charges, et par  : , et  ; on retrouve bien un champ électrostatique , et  ; on trouve un champ qui a une structure magnétostatique. On donne à le nom de champ longitudinal, et à celui de champ transversal. Justification des noms : en transformée de Fourier, les équations deviennent : , et Absence de courants magnétiques : On a Il n’y a donc pas d’équivalent du terme dans (si on réussit à mettre en évidence des « charges magnétiques », il y aura sûrement un terme à ajouter…) Equation de Maxwell–Ampère Théorème d’Ampère : Il n’est plus vérifié ici : On aura dans le cas général Sources de  : Le courant La variation de Il est moins intéressant de séparer en deux champs ici. « Courant de déplacement » Définition : est homogène à une densité de courant (mais n’est pas une densité de courant). On peut donc noter On peut alors appliquer le théorème d’Ampère avec une intensité embrassée « généralisée » Nécessité du terme de déplacement : Sous forme locale : n’est pas compatible avec le postulat de conservation de la charge en général : On a en effet , et donc ce qui est faux en général. Il faut donc ajouter quelque chose en général. L’équation de Maxwell–Gauss et le postulat de conservation de la charge permettent de trouver l’équation de Maxwell–Ampère. Sous forme globale : exemple de contradiction si on ne tient pas compte du terme supplémentaire : On a Si on suppose que  : On aura pour la surface en noir Et pour la surface en rouge Ce qui est contradictoire puisque les deux surfaces s’appuient sur le même contour En prenant en compte le terme On a Et Si on suppose que le condensateur est sans effet de bord, on aura Et donc Et comme , on aura Théorème de superposition Si une distribution produit un champ Et une distribution un champ Alors produira un champ Remarque : Le « principe » de superposition vu en électrostatique est devenu ici un théorème. Couplage entre et . Champ électromagnétique Les équations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère montrent que les champs et sont couplés. On a donc affaire à un individu physique, le champ électromagnétique, et qui contient deux composantes, à savoir et (C’est comme en mathématique pour des vecteurs : un vecteur est composé de plusieurs composantes, qui n’ont aucun sens séparément) En régime stationnaire, il n’y a plus de couplage (Pour reprendre l’analogie, c’est comme si on se restreignait à une droite) Transformation des champs Position du problème : On considère deux référentiels galiléens R et R’, où R’ est en translation à la vitesse par rapport à R. On note le champ correspondant dans R, dans R’. Dans R, on a la force de Lorentz Dans R’, on a la force de Lorentz Conservation de la charge : Transformation galiléenne : Formule de composition : En relativité galiléenne, , Donc et ce Par identification, on a donc et Discussion : On considère un fil infini uniformément chargé de masse linéique se déplaçant à la vitesse Etude : Dans R’, le fil est fixe et donc , Dans R, Conclusion : les formules de relativité galiléenne ne s’appliquent pas. L’électromagnétisme est donc par essence relativiste. Transformation einsteinienne : On a en général , On admet que Remarque : On voit ici qu’il aurait été plus commode de définir initialement le champ magnétique comme étant «  », et qui aurait été en plus homogène à . On obtient ainsi des formules symétriques. Elles sont valables seulement au premier ordre en . Dans l’exemple précédent : On aura Et Donc Remarque : En fait, toute formule faisant intervenir la vitesse de la lumière est nécessairement relativiste, et donc c’est la même chose pour ou (qui, comme on va le voir, vérifient ) Propagation des champs On a Et Pour  : On a Mais Donc Soit avec (Rappel :  : opérateur d’alembertien, ) Ainsi, dans le vide , Donc  ; on reconnaît l’équation d’onde classique avec une célérité . Dans un milieu, on n’a plus l’équation d’onde classique : la propagation est perturbée par la matière Pour  : On trouve de la même manière On obtient ainsi une onde électromagnétique se déplaçant dans le vide avec une célérité Les potentiels Remarque : Les potentiels ne sont que des outils mathématiques, et on peut parfois trouver des potentiels qui heurtent le sens physique, par exemple des potentiels donc l’effet semble précéder la cause. Mais du moment que et sont corrects, ce n’est pas gênant. Existence des potentiels Rappel En électrostatique, on a , et donc il existe V tel que On a même En magnétostatique, on a , donc il existe tel que On a même Ce potentiel–vecteur est toujours défini en général. Potentiel vecteur On a Donc Ainsi, il existe V tel que Ou . Conclusion On peut penser que la composante longitudinale du champ correspond à , et la composante transversale à . On a ainsi trouvé une correspondance Jauges Indétermination sur les potentiels Si est un potentiel vecteur, alors pour tout peut aussi convenir. Mais V va aussi changer : On aura Donc Ou Et donc Définition Une jauge, c’est un couple Une transformation de jauge, c’est un changement Condition de jauge : c’est une condition supplémentaire qu’on impose à la jauge (par commodité) Jauge de Lorentz Condition de jauge de Lorentz La condition de jauge de Lorentz, c’est . Elle est déjà homogène. On verra qu’elle permet de simplifier souvent les calculs. En magnétostatique, on retrouve la jauge de Coulomb. Existence Il y a des solutions… Non unicité Il y en a même une infinité… Equations aux potentiels Les équations de Maxwell–Flux et Maxwell–Faraday sont contenues dans le fait même d’utiliser et V. On a de plus : , Equation de Maxwell–Gauss : On a Donc Et, avec la jauge de Lorentz : Ou Equation de Maxwell–Ampère : On a Donc Mais comme , On reconnaît ici encore Discussion : Le Laplacien en statique est remplacé par le d’Alembertien. On a pu découpler et V, ce qui est plus agréable pour les calculs. La condition de jauge de Lorentz est relativiste. Potentiel retardé Solution des équations aux potentiels : et ne sont pas nécessairement stationnaires. On cherche alors , . En statique, on a : (en notant ) On peut montrer que dans le cas général, les potentiels suivants sont solution : Interprétation : Si il se produit une modification en P, elle ne se fera sentir en M que lorsque l’information aura parcouru la distance, d’où le nom de potentiel retardé. La solution obtenue est donc physiquement satisfaisante. Mais dans les deux équations, seul intervient. Ainsi, la même chose en remplaçant et par et est aussi solution. Mais cette solution est moins satisfaisante physiquement, puisque cela signifie que la modification du potentiel en M se fait sentir avant qu’elle n’ait lieu. Rappel : les potentiels ne sont que des outils de calcul, et n’ont aucune signification physique. Jauge de Coulomb Jauge de Coulomb On a, en jauge de Coulomb, Equations aux potentiels Pour V : On a Donc , soit On obtient ainsi un potentiel instantané : Pour  : avec cette jauge, le calcul devient beaucoup plus compliqué : Les équations de Maxwell dans les milieux Dans un milieu quelconque , et On peut montrer qu’on a ici encore , pas de changement. , et . Cette fois, Dans un milieu LHI En régime permanent On a , Et , En régime sinusoïdal On suppose que toutes les fonctions de t varient sinusoïdalement. Ainsi, , avec On aura où est complexe, Et , Et Et enfin où est aussi complexe. En régime variable On peut utiliser la transformée de Fourier Relation de passage du champ électromagnétique à une interface Champ . Continuité de la composante tangentielle On a Et quand l’épaisseur tend vers 0, la surface devient de plus en plus petite et le flux tend aussi vers 0. Ainsi, . Discontinuité de la composante normale Cas général : On suppose qu’on est en régime sinusoïdal, ce qui est possible puisqu’on peut passer ensuite à la transformée de Fourier. On a alors où est différent selon le milieu (mais constant dans chacun puisqu’on suppose les milieux LHI) Soit Et on trouvera ici ( prend en compte uniquement les charges libres) D’où Cas particulier : Lorsque , on a Champ . Continuité de la composante normale On a toujours ici , donc Discontinuité de la composante tangentielle Cas général : On a De plus, est continu sur la composante tangentielle, et sur la répartition, donc on peut enlever la contribution de dans l’expression et donc : Soit Cas particulier : Lorsque , on a alors Densité de courant surfacique : En électrostatique, on trouve deux types de matériaux : Les isolants, où il n’y a pas de déplacement possible, donc on peut imposer une charge surfacique (ou volumique) Les conducteurs, qu’on ne peut charger qu’en surface. Pour l’électromagnétisme : Pour avoir un courant, il faut forcément un conducteur On va voir que dans le cas réel, lorsque le courant circule, il circule nécessairement en volume, et donc qu’on n’a pas de relations symétriques entre et . Selon la modélisation qu’on adopte, on peut quand même avoir des courants considérés comme surfaciques : avec une feuille d’aluminium : Pour un conducteur volumique limité par une surface : Si on a un courant surfacique, sur la surface ; mais et est fini. Ainsi : Pour un conducteur réel, est fini, donc nécessairement l’est aussi, et donc , soit Et si , Si on a un conducteur parfait, est infini, et prend des valeurs infinies. Ainsi, à la surface, est non nul donc et on a une modélisation surfacique. Et à l’intérieur, donc . Ainsi, en régime variable, la présence de courant surfacique est un cas particulier, ou une conséquence de la modélisation choisie. Equilibre, régime permanent, variable, quasi–permanent Equilibre Définition C’est lorsque est indépendant du temps et On est alors en électrostatique. Equations de Maxwell Champs Champ électrostatique. Régime permanent Définition C’est lorsque et sont indépendants du temps. On est alors en magnétostatique. Et on a de plus (conservation de la charge) Equations de Maxwell Champs Les champs sont découplés est créé par est créé par , c’est le même champ qu’un champ électrostatique. Régime variable Définition C’est lorsque et sont quelconques. Equations de Maxwell Ce sont les plus générales Champs Les champs sont couplés. Régimes quasi–permanents Approximation des régimes quasi-permanents (ARQP) On a deux temps caractéristiques : Le temps caractéristique de variation de et . Celui de propagation de P à M : Ce qu’on appelle l’approximation des régimes quasi-permanents, c’est considérer que C'est-à-dire que le retard en M est négligeable par rapport à la variation de et . Potentiels approchés Pour les champs exacts, on avait : , . Et , Avec l’ARQP : On a et Ainsi, le potentiel retardé devient un potentiel instantané. Et on a alors les équations : , . C’est donc comme si on considérait que la vitesse de la lumière est infinie. (On peut vérifier que , vérifient toujours la jauge de Lorentz) Champ et approchés. On aura et Equations de Maxwell : Ces deux premières équations sont toujours rigoureuses Mais on ne peut pas ici négliger  : Pour le premier : on avait supposé que C'est-à-dire , soit . Mais toutes les approximations faites agissent sur les dérivées d’ordre 2, donc on n’a rien pour . Régime quasi-permanent magnétique « quasi–magnétostatique » Définition : C’est quand on peut calculer comme si c’était un champ magnétostatique. C'est-à-dire : Attention : Ce n’est pas qui est négligeable localement, mais sa contribution globale lorsqu’on va intégrer les relations. En fait, il aurait fallu quand même l’écrire dans l’équation locale puis retirer le terme supplémentaire après calcul. Conséquence sur les champs : Sur le champ  : c’est comme un champ magnétostatique. On aura Sur le champ  : Conséquence sur les potentiels : , Ainsi, en découplant seulement partiellement et , on a totalement retiré les temps de propagation. Conséquences sur  : Equation locale : On a . Donc Conservation de la charge : On a d’autre part . Donc on peut négliger  ; mais devant quoi ?? En fait, localement, ça n’a pas de sens de négliger ce terme supplémentaire : Analyse unidimensionnelle : On a Bilan : Donc Si ce qui entre est très proche de ce qui sort, on a alors soit , et dans ce cas est négligeable devant et . On a , donc est à flux conservatif. Ainsi, dans un fil électrique où on peut appliquer l’ARQP magnétique, le courant est le même dans tout le fil à chaque instant, même si ce courant dépend du temps. Principaux cas de l’ARQP magnétique : Induction électromagnétique : Pour un solénoïde traversé par un courant non stationnaire, il créera un champ magnétique variable, qui engendrera alors un champ électrique (vu en complément de manière plus précise) Plus généralement, quand le courant est dominant, c'est-à-dire quand Dans un conducteur ohmique : On suppose qu’on est en régime sinusoïdal et que On a Et , avec . On va rechercher dans quels cas on peut appliquer l’ARQP magnétique : On doit donc avoir , c'est-à-dire , ou en module Pour un bon conducteur, , et , Pour appliquer l’ARQP, il faut donc que . On peut donc l’appliquer tout le temps dès qu’on a affaire à un métal. Régime quasi-permanent électrostatique « quasi–électrostatique » Définition : C’est lorsqu’on peut calculer comme si c’était un champ électrostatique. On a alors , soit Conséquence sur le champ : Pour  : , Pour  : , On a donc ici encore découplé partiellement et . Conséquence sur les potentiels : , Même remarque que pour l’ARQP magnétique. Cas d’application : lorsque est non nul et (c'est-à-dire que les charges dominent) Pour un condensateur. Symétries et antisymétries du champ électromagnétique Dans le cas magnétostatique ou électrostatique, on avait des plans de symétrie /d’antisymétrie pour des courants ou des charges. Ici, on ne peut plus considérer des symétries pour et indépendamment l’un de l’autre, et un plan d’antisymétrie seulement à un instant t ne suffit pas non plus. Répartitions de charges et de courants symétriques Pour un plan de symétrie à la fois pour et à tout instant. Potentiels On a , Donc si est un plan de symétrie pour et à tout instant, alors c’en est un pour V et aussi. Champs On a . Donc tout plan de symétrie pour est d’antisymétrie pour . Et , donc tout plan de symétrie pour et V en est aussi un pour . Réciproques Si est un plan de symétrie pour , alors donc c’est aussi un plan de symétrie pour . Si est un plan d’antisymétrie pour et de symétrie pour , alors donc c’est un plan de symétrie pour . Répartition de charges et de courant antisymétriques. Analogue Compléments ARQP magnétique et électrostatique Solénoïde en régime variable On considère un solénoïde infini, dont l’axe est selon . En régime permanent : On a (pour ) Et En régime quasi–permanent : Charges et courants : Pour un bon conducteur, . Donc , et donc le courant dans le solénoïde ne dépend que de t : l’intensité est la même dans tout le fil. Champ  : On a Champ  : Symétries : Tout plan contenant z est un plan d’antisymétrie pour et Donc On doit avoir , équation que vérifie bien la forme proposée. Et  : On a Donc, pour un cercle entourant l’axe Oz et de rayon r : Soit Amélioration : On sait que n’est pas exact, puisqu’on a en fait On peut ainsi ajouter le champ calculé et trouver ainsi un terme correctif pour etc. On obtient ainsi un champ de plus en plus précis (sous forme d’une série) Condensateur en charge On cherche et à l’intérieur du condensateur (on néglige les effets de bords) En régime statique : On a , donc et En régime quasi–permanent :  : Donc  : On a Et Tout plan contenant est un plan de symétrie pour , . Donc Pour un disque centré en Oz de rayon r : Soit De même, on peut ici apporter une correction à … Emission isotrope d’une source radioactive . Modèle On suppose que l’émission est isotrope, et on néglige les interactions des électrons entre eux et avec la source. Ainsi, la vitesse ne dépend ni de la position de l’électron ni du temps. On cherche alors Calcul de (charge d’espace) On considère un volume compris entre deux sphères de rayons r et . Ce volume contient des électrons, mais ces électrons sont ceux émis par la source pendant le temps correspondant au parcours de l’épaisseur sphérique, c'est-à-dire qu’on a une charge où est le nombre d’électrons émis par seconde. Ainsi, , soit (et ) Calcul de . On a Calcul de . Comme on a la symétrie sphérique, Mais de plus , donc Calcul de . On a Théorème de Gauss : Pour une sphère de rayon r, Donc Vérification de l’équation de Maxwell–Ampère ? On a Et Champ électrique rotationnel Un courant permanent crée un champ (donnés) On suppose que , On cherche alors le champ créé dans l’espace. On suppose le champ électrique stationnaire On a alors les équations , . On en connaît une solution, à savoir Détermination du champ électrique On a pour les équations : , où On a donc un champ indépendant du temps, et l’hypothèse est validée. De plus, a une structure de champ magnétostatique, c'est-à-dire qu’on a un champ rotationnel. Si le courant correspond à celui d’un solénoïde de rayon R. On a alors à l’intérieur Et donc Ainsi, pour , , et pour ,