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Fiche démonstration Barycentre 1ère S
Théorème :
Soit (A,?), (B,?) et (C,?) trois points pondérés tels que ?+?+?ý0.
Il existe un point unique tel que ? +? +? =.
Ce point G est appelé barycentre de (A,?), (B,?) et (C,?).
Pour tout point M du plan, on a :
? +? +? =(?+?+?)
et aussi : =
Démonstration :
La relation ? +? +? = est équivalente à
? +?(+)+?(+)=
soit (?+?+?) +? +? =
Comme ?+?+?ý0, on a =+.
Cette relation assure l’existence et l’unicité de G.
D’après Chasles, on a :
?+?+?=
d’où ?+?+?=(?+?+?).
Théorème :
L’isobarycentre des sommets d’un triangle est le centre de gravité du triangle.
Démonstration :
Soit un triangle ABC et G l’isobarycentre de A, B et C, c’estàdire le barycentre de (A,1), (B,1), (C,1).
On a alors : ++=
Soit A’ le milieu de [BC] alors +=2
La relation devient alors : +2= qui peut s’interpréter par : G=bar
Le point G appartient donc à la médiane (AA’).
On montrerait de la même manière que G appartient aux médianes (BB’) et (CC’) (si B’ et C’ sont les milieux respectifs de [AC] et de [AB]).
Donc G est le centre de gravité du triangle ABC.
