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Racine carrée
Racine carrée d’un nombre positif
Définition
Soit a un nombre positif. La racine carrée de a (noté a ) est le nombre positif dont le carré est a.
Pour tout nombre « a » positif, a×a=a.
Remarque :
Le symbole est appelé radical.
Si a est un nombre strictement négatif alors a n’existe pas.
Exemple :
Cas où a est un nombre entier
On sait que :
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
Donc
0=0
1=1
4=2
9=3
16=4
25=5
On dit que : 0, 1, 4, 9, 16, 25, ….sont des carrés parfaits (carré des nombres entiers).
Cas où a est un nombre rationnel non entier : 0.25=0.5
Cas où a est un nombre irrationnel : 2,3 , …… On ne peut obtenir que des valeurs approchées de ces nombres avec la calculatrice.
Propriétés
Pour tout nombre positif a, on a : a2=a.
Démonstration : Par définition de la racine carrée.
Exemples : 32=3, 12,262=12,26…..
Pour tout nombre positif a, on a : a2=a.
Démonstration : Par définition, a2 est le nombre qui élevé au carré donne a². Or a est un nombre positif et son carré vaut a², donc a2=a.
Remarque : Si a est un nombre positif, alors (-a)2 existe et on a : (-a)2=a2=a.
Exemple : 152=15 ; 102,62=102,6 ; (-3)²=3²=3 …..
Racines carrées et opérations
Multiplication et division
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit.
Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, on a : ab=ab.
Démonstration :
ab²=a²b²=ab. Or, par définition de la racine carrée, ab est le seul nombre positif dont le carré est ab. On obtient donc : ab=ab.
Exemples : 38=3×8=24, 6=2×3=23
Ecrire un nombre ab sous la forme c
Technique :
On écrit a sous la forme a² (propriété liée à la définition)
On utilise la formule cd=cd
On conclut
Exemple : Ecrire 53 sous la forme c avec c nombre entier positif.
53=5²3=253=25×3=75
Ecrire un nombre c sous la forme ab avec b le plus petit possible
Technique :
On cherche le plus grand carré parfait qui divise c
On écrit c sous la forme a²b où a² est le plus grand carré parfait trouvé
On utilise la formule ab=ab
On conclut en utilisant la formule liée à la définition : a2=a
Exemple : Ecrire 72 sous la forme ab avec a et b nombres entiers positifs et b le plus petit possible.
36 est le plus grand carré parfait qui divise 72. 72=36×2=6²×2. On obtient alors : 72=6²×2=6²2=62.
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, b?0 on a : ab=ab.
Exemple : 182=182=9, 59=59=53
Transformer un quotient de racines carrées pour obtenir un dénominateur entier
Technique :
On transforme le quotient de racines carrées en racine carrée d’un quotient (formule ci-dessus)
On simplifie le quotient et on le réécrit comme un quotient de racines carrées
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre se trouvant au dénominateur
On conclut en utilisant les formules suivantes : ab=ab et a2=a
Exemple : Soit l’expression B=1815. Calculer B et donner le résultat sans radical au dénominateur.
B=1815=1815=65=65=6×55×5=6×55×5=3025=305
Addition et soustraction
Attention : Les propriétés précédentes ne s’étendent pas à l’addition et la soustraction.
Exemple : 16+5=25=5 et 16+5=4+3=7 donc 16+5?16+5
225-144=81=9 et 225-144=25-12=13 donc 225-144?225-144
Equation et carré
Propriété : Si a est strictement positif alors l’équation x² = a admet deux solutions a et -a.
Remarque :
Si a = 0, il n’existe qu’un seul nombre tel que x² = 0 : c’est 0.
Si a est strictement négatif, alors l’équation x² = a n’admet aucune solution puisque x² est forcement un nombre positif.
Résoudre des équations carrées simples
Technique :
Se ramener à la forme x² = a
Utiliser la propriété précédente
Exemples :Résoudre l’équation : x² = 121.
121 > 0 donc l’équation x² = 121 admet deux solutions : 121=11 et -121=-11.
Résoudre l’équation : 3x²+15=5x²-25
2x²=40 donc x²=20. L’équation admet deux solutions : 20=25 et -20=-25.
Résoudre des équations de la forme (x-b)² = a où a et b sont deux réels
Technique :
Si a est négatif : il n’y a pas de solutions
Si a est égal à 0 : il existe une unique solution : x = b.
Si a est positif :
On utilise la propriété précédente (on obtient : x-b = a ou -a)
On ajoute b de part et d’autre de l’égalité
On conclut
Exemple : Résoudre l’équation : (x-5)² = 121.
121 > 0 donc l’équation (x-5)² = 121 admet deux solutions : x-5=121 et x-5=-121
x=11+5=16 ou x=-11+5=-6.
L’équation (x-5)²=121 admet pour solutions : -6 et 16.
