Transcript
Application des principes
Fonctions thermodynamiques
Définition
Enthalpie H.
, définie pour les systèmes dans lesquels on peut parler de pression et où elle est définie.
On a et .
Donc
Cela permet donc d’échanger V et P dans l’identité de Gibbs.
.
Energie libre F.
, définie pour les systèmes ayant une température et une entropie.
On a alors
On a donc ici échangé S et T, et
Enthalpie libre G.
.
On a alors , et .
Remarque :
H, F et G sont des fonctions d’état, donc les différentielles écrites sont totales.
On a alors, pour une fonction f :
, et , soit, par exemple pour l’enthalpie :
, , donc .
Et de même pour les autres, et
Les transformations , ou sont des transformations de Legendre.
Toutes les fonctions , , et contiennent toutes les informations sur le système.
La fonction G est généralement plus commode, T et P étant facile à mesurer.
Calcul de S, H en fonction de G.
On a
Donc .
On a .
Donc .
D’où la relation de Gibbs–Helmholtz : .
Mais avec , on ne peut pas retrouver G :
En intégrant, on obtient , et f peut être à peu près n’importe quelle fonction.
Ainsi, les variables en fonction desquelles on exprime chacune des fonctions U, F, G, H, S sont importantes.
Bilans d’énergie (1er principe)
Bilan énergétique des systèmes fermés
Transformation quelconque
Si ,
Transformation adiabatique
On a alors .
Donc , ou .
Transformation sans travail de pression
Exemple : les transformations isochores sont sans travail de la pression.
Cas général :
Donc , ou
(On considère dans la suite que )
Cas particuliers :
Si , on a alors (correspond à la calorimétrie)
Si , on a alors .
Transformation isobare
C’est une transformation pour laquelle la pression est définie et constante à tout instant et en tout point (égale à )
Ainsi,
Cas général :
Donc
Donc
Ou, si ,
Cas particuliers :
Si , on a alors
Si , on a alors (correspond en général à la chimie)
Application :
Mesure du transfert thermique associé à une réaction chimique non explosive, qu’on suppose exothermique.
Ainsi, la transformation est isobare mais pas isotherme.
On cherche Q.
On a , .
Donc .
On considère une autre transformation :
Etat 1 :
On le met dans un calorimètre et on laisse la transformation se faire.
Etat 2 :
On le sort du calorimètre et on attend l’équilibre thermique.
Etat 3 : (correspond à l’état final)
On le remet dans le calorimètre avec une résistance jusqu’à atteindre .
Etat 4 : (correspond à l’état 2)
Ainsi :
: . Donc
: . Donc
Ainsi,
Donc
Bilan énergétique des écoulements permanents
Hypothèses de travail
Système : fluide dans l’enceinte rouge.
Le système est ouvert
La surface peut avoir plusieurs nappes (si par exemple il y a une turbine à l’intérieur)
Transfert de matière :
Transfert uniquement convectif
Uniquement à l’entrée et à la sortie
En régime permanent, (car la masse est conservative)
. Donc
En dehors de l’entrée et de la sortie, ; on peut ensuite en tirer
Transfert d’énergie :
Transfert thermique : uniquement pour (pas à l’entrée ni à la sortie)
Travail :
Travail de transfert (à l’entrée et à la sortie)
De même en sortie, (la force est de sens opposé)
On a de plus : , donc
Et de même
Ainsi,
Travail autre :
On a alors .
Bilan en régime permanent
Pour le système fermé :
.
On est en régime permanent, donc sur l’aire hachurée
Donc
On a de plus
Et , .
Donc
Enfin, , soit
Donc
Bilans entropiques des systèmes fermés (2nd principe)
Relation de Clausius
Relation générale :
Donc
Si est uniforme :
Soit (avec )
Application aux transformations réversibles
On aura
Transformations adiabatiques
On a alors
Pour une transformation infinitésimale,
Pour une transformation finie,
Pour une transformation cyclique, ( !)
Transformations diathermes
La température intérieure est définie et uniforme (puisque la transformation est réversible), égale à .
Donc
Pour une transformation infinitésimale,
Pour une transformation finie,
Pour une transformation cyclique,
Transformations isothermes
Ici,
Pour une transformation finie,
Pour une transformation cyclique,
Application aux transformations irréversibles
On aura
Transformations adiabatiques
On a
Pour une transformation finie,
Pour un cycle, on devrait avoir et , ce qui est impossible. On ne peut donc pas avoir de transformation cyclique adiabatique irréversible.
Transformations diathermes
On suppose que est uniforme.
Pour une transformation finie,
Pour une transformation cyclique,
Transformations monothermes
Ici, (température extérieure stationnaire et homogène)
Pour une transformation finie,
Pour une transformation cyclique,
Machines thermiques
Machines monothermes
Définition
C’est un système qui :
Effectue des cycles
Echange un travail avec l’extérieur
Echange de la chaleur avec un thermostat à
On représente positivement ce qui entre dans S.
Exemple
On comprime, on détend…
Machines réversibles
2nd principe :
Donc
1er principe :
Donc
Pas très utile…
Machine monotherme irréversible
2nd principe :
Donc
1er principe :
Donc
On peut uniquement fournir du travail pour obtenir de la chaleur.
Machines dithermes
Définition
C’est un système effectuant des cycles et pouvant échanger du travail avec le milieu extérieur et de la chaleur uniquement avec deux thermostats à et (avec )
Nature du cycle
Cas général :
Monotherme à
Adiabatique
Monotherme à
Adiabatique
Cycle de Carnot : même que général mais réversible
Isotherme à
Isentropique
Isotherme à
Isentropique
Application des principes
1er principe :
2nd principe : , ou
Diagramme de Raveau :
Différents types de machine ditherme
Moteur :
But : obtenir du travail ()
Ainsi : , (/// sur le diagramme)
Efficacité :
. Dans tous les cas,
Réfrigérateur :
But : Prélever de la chaleur à la source froide ()
Ainsi, , (/// sur le diagramme)
Efficacité :
Remarque :
On n’a pas nécessairement . Le réfrigérateur est d’autant plus efficace que l’écart entre la source froide et la source chaude est faible.
Pompe à chaleur :
But : donner de la chaleur à la source chaude (), et avoir W le plus faible possible (/// sur le diagramme)
Efficacité :
Remarque :
On peut là aussi avoir , et l’écart doit aussi être faible pour une meilleure efficacité.
Rendement
Définition :
( : ce qui est gagné, : ce qu’on paye pour garder la source suffisamment chaude). r correspond à l’efficacité pour un moteur, mais dans tous les cas on a
1er théorème de Carnot :
Pour une machine réversible, , donc ;
Ainsi, le rendement d’une machine réversible ne dépend que des températures.
Pour avoir , il faut que ou .
Par définition, on a posé (valeur exacte) pour le point triple de l’eau. Ainsi, avec la formule du rendement, on peut calculer n’importe quel rapport de températures ( et peuvent être calculés facilement), et, grâce à , n’importe quelle température.
Remarque : par définition, (exact aussi)
2ème théorème de Carnot.
Pour une machine irréversible, (et )
Compléments
Transformation de Legendre
Problème
On considère une grandeur ()
On pose .
On veut alors travailler avec Z au lieu de X ()
Solution bâtarde
On a , , donc avec g une primitive de Z.
La solution est mauvaise : on peut obtenir une même fonction de X avec un même ; on perd donc des renseignements.
Solution de Legendre
: famille de droites correspondant aux pentes de la courbe au point d’abscisse 0. Ainsi, a les mêmes informations que . On peut donc changer de fonction.
Equation d’une des droites : , donc
()
Moteur fonctionnant entre deux briques
On considère deux briques identiques, de même capacité c, indilatables.
A , , .
Mise en contact adiabatiquement :
Calcul de :
, (en considérant une transformation où la température reste uniforme dans chaque compartiment)
Donc , soit
Calcul de :
,
Donc
Et (adiabatique)
Calcul de et :
; il faut donc connaître la température à l’interface.
On admet pour l’instant qu’à l’interface
Ainsi,
.
Donc , et de même
Remarque : c’est la brique ayant la température initiale la plus importante pour laquelle est le plus grand.
On place maintenant une machine thermique entre les deux briques :
On suppose les cycles élémentaires, c'est-à-dire que les températures et sont constantes au cours d’un cycle.
On a , et
Donc , et (pour le signe – : , c’est ce qui est fourni au système, donc enlevé à la brique)
Donc
Donc , soit .
Ainsi,
Soit
Et en cas de réversibilité (positif car une moyenne arithmétique est plus grande qu’une moyenne géométrique)
Ecoulement dans une tuyère
Préliminaire : vitesse du son dans un fluide
Dans un fluide quelconque,
Pour le calcul :
On fait une petite variation du piston, , réversible (donc isentropique)
On calcule ensuite , , puis on a !!
Pour un gaz parfait :
A S constante,
Donc , soit .
Comme , on a (M : masse molaire du gaz)
Ainsi, , soit
Pour l’air, à , on a ()
Ecoulement permanent dans une tuyère
On suppose que la section ne dépend que de x (on a ainsi une symétrie de révolution autour de l’axe x)
On suppose aussi que l’écoulement est permanent et unidimensionnel ()
Gaz parfait :
Conservation de la masse :
, soit
1er principe :
(on suppose qu’il n’y a pas de variation d’énergie potentielle, et que le système ne reçoit pas d’énergie de l’extérieur)
Donc
On suppose de plus que chaque tranche de gaz (verticale) n’échange pas de chaleur avec les autres et évolue réversiblement. Donc .
Ecriture différentielle logarithmique de tous les points précédents (sauf le troisième) :
On obtient ainsi :
; pour un gaz parfait, .
Donc
: nombre de Mach.
Ainsi, (Loi de Hugoniot)
Discussion
Sens de variation de v, T, P :
-
Si v augmente, diminue, donc T diminue.
- (C’est pour une unité de masse)
Donc
Donc si v augmente, T diminue et P diminue aussi.
Si on veut que , on doit avoir :
Tuyère convergente :
. Donc, si , et si ,
Pour une tuyère divergente, on inverse les relations.
