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Fiche démonstration Intégrales TS
La notion d’intégration est associée directement aux problèmes d’aires.
On aborde la notion de primitive en la définissant comme une « antidérivation », c’estàdire si on connaît la fonction dérivée d’une fonction, quelle est cette fonction ?
356679514922500Définition
3181985-123190b
a
(C)
O
x
unité d'aire
y
00b
a
(C)
O
x
unité d'aire
y
Soit f une fonction continue et positive sur [a;b] (avec aÂb).
4124960131445f(t) dt
00f(t) dt
On appelle intégrale de a à b de la fonction f l’aire du domaine associé à f sur [a ;b].
Ce nombre est noté
Le domaine associé est le domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b (aÂb).
E={M(x,y)?P /aÂxÂb et 0ÂyÂf(x)}
Définition
left17780µ
a
b
(C)
00µ
a
b
(C)
Soit f une fonction continue et positive sur [a ;b] (aÂb).
La valeur moyenne de f sur [a ;b] est le réel µ =
3493770290830b
a
Cg
Cf
00b
a
Cg
Cf
Théorème :
Soient f et g deux fonctions continues, a et b deux réels de I tels que aÂb.
Lorsque fÂg sur [a ;b], l’aire en u.a. du domaine limité par les courbes et sur [a ;b] est calculée par :
aire(D) =
Extension aux suites
Le calcul, exact ou approché, d’une grandeur, par un encadrement à l’aide de suites adjacentes.
Rappel : (un) et (vn) sont adjacentes lorsque (un) est croissante, (vn) décroissante et lim(vn-un)=0
2418080487680 x0
x1
x2
xn
00 x0
x1
x2
xn
Problème : calculer l’aire A du domaine plan (nommé « segment de parabole ») défini par les égalités :
692158255 x0
x1
x2
xn
00 x0
x1
x2
xn
Soit n un entier (nÃ1). On partage le segment [0 ;1] en n segments de longueur et on désigne par :
la somme des aires des rectangles situés en dessous de la courbe
la somme des aires des rectangles situés au-dessus de la courbe
?nÃ1, on aura ÂAÂ
Tous les rectangles ont pour largeur .
Leurs hauteurs sont :
pour les petits : , , … ,
pour les grands : , , … , ,
Ainsi
=
==+
Alors :
1707515192405001036320-22225000
= somme des carrés des (n-1) premiers entiers
307911544450Rappel : somme des carrés des n premiers entiers :
=
00Rappel : somme des carrés des n premiers entiers :
=
==
Déterminons les limites des suites et
== d’où =
Comme =+ alors =
On sait que ÂAÂ
donc d’après le théorème de l’encadrement
