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Intégrales curvilignes, formes différentielles
Ici, .
Intégrale curviligne le long d’une courbe
Soit un arc paramétré de classe , de support C.
Soit une fonction continue.
On appelle intégrale curviligne de f le long de , et on note le réel défini par (où )
Admis :
Si le paramétrage est « raisonnable » (en particulier pas de points doubles autres qu’en des points isolé), cette intégrale ne dépend que de C.
Généralisation :
Aux arcs continus et de classe par morceaux,
c'est-à-dire que est continu et il existe une subdivision de telle que est de classe .
(On généralise par addition…)
Interprétation :
s étant une abscisse curviligne, représente « le déplacement élémentaire sur C ».
Ainsi, (admis)
où, pour tout , (subdivision régulière de ).
Utilité :
Exemple : un fil dont la forme est donné par la courbe paramétrée , de densité linéique (fonction continue de M) a pour masse totale .
Formes différentielles sur un ouvert de .
Soit un ouvert de .
Définition
Une forme différentielle sur est une application de dans .
Si par exemple , on sait que (dual de ) est un R-ev de dimension 3, dont une base naturelle est constituée des 3 projecteurs : , et , qu’on a notés en analyse .
Ainsi, une forme différentielle sur s’écrit :
où A, B, C sont 3 applications de dans R.
Autrement dit :
.
On dit que est de classe lorsque A, B, C le sont.
De même si , une forme différentielle sur un ouvert de s’écrit :
où A et B sont des fonctions de dans R.
Exemples :
- définie par est une forme différentielle de classe sur .
- Si est de classe , alors est une forme différentielle continue sur .
Formes différentielles exactes
Définition :
Soit une forme différentielle continue sur . On dit que est exacte lorsqu’il existe f, de classe sur , telle que .
Autrement dit, avec par exemple :
La forme différentielle définie par (où A et B sont continues) est exacte si et seulement si il existe f, de classe , telle que , et .
Intégrale curviligne d’une forme différentielle le long d’une courbe
Soit un arc de classe et de support C.
On prend les notations habituelles :
On pose .
Attention : , et .
Autrement dit, dans le cas :
Si , alors :
Admis :
Si le paramétrage est « raisonnable », cette intégrale ne dépend que de C et de l’orientation de C définie par ce paramétrage (l’intégrale est changée en son opposée si la paramétrisation inverse l’orientation de C).
Lien avec les intégrales curvilignes de fonctions :
On peut ici encore généraliser aux arcs continus et par morceaux, par addition.
Cas où est exacte :
Théorème :
Soit , de classe , et soit continue et de classe par morceaux, de support contenu dans .
Alors , où A est le point de de paramètre a, B celui de paramètre b.
En particulier, si est fermé (c'est-à-dire ), .
Démonstration :
Avec les notations précédentes, dans le cas par exemple :
Circulation d’un champ de vecteurs
Soit un ouvert de , et soit un champ de vecteurs de classe .
On a :
Soit la forme différentielle .
Alors est aussi noté , appelé circulation de le long de .
Justification, interprétation :
Où et .
(La dernière égalité est admise, mais intuitivement claire)
Ainsi, le théorème du paragraphe précédent s’écrit aussi :
(circulation d’un champ dérivant d’un potentiel)
où est de classe .
