Addition et soustraction.docx

ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS I) Addition de nombres décimaux 1) Définition Lorsqu’on additionne deux nombres, on obtient la somme de ces deux nombres. Chaque nombre que l’on additionne est appelé terme. Exemple : 2) Propriétés Voir activité 2 p 29 : propriétés de l’addition et de la soustraction Lors du calcul d’une somme de plusieurs termes, on peut : changer l’ordre des termes ; regrouper différemment les termes. Exemple : on change l’ordre des termes on regroupe différemment les termes 3) Méthode Regardons comment faire pour poser et effectuer une addition : 8,6 + 9,23 + 754,136 Voir activité 3 p 30 : calcul posé 118745330206 8, 3 2 9, + 6 3 1 4, 5 7 + 6 6 9 1, 7 7 006 8, 3 2 9, + 6 3 1 4, 5 7 + 6 6 9 1, 7 7 1ère étape : on aligne les virgules 2ème étape : on commence les calculs par la droite : 6 millièmes puis 3 centièmes plus 3 centièmes soit 6 centièmes puis 6 dixièmes plus 2 dixièmes plus 1 dixième soit 9 dixièmes. On n’oublie pas la virgule !!! 8 unités plus 9 unités plus 4 unités soit 21 unités : c’est en fait 2 dizaines et 1 unité : « on pose 1 et l’on retient 2 »... II) Soustraction de nombres décimaux 1) Définition Lorsqu’on soustrait deux nombres, on obtient la différence de ces deux nombres. Chaque nombre est appelé terme ; on soustrait le 2ème terme au 1er terme. Exemple : Attention, on ne peut pas changer l’ordre des termes d’une différence ! 2) Méthode Regardons comment faire pour poser et effectuer une soustraction : 456,8 – 37,5 120015850908 6, 5 4 5 7, 3 - 3 9, 1 4 008 6, 5 4 5 7, 3 - 3 9, 1 4 1ère étape : on aligne les virgules 2ème étape : on commence les calculs par la droite : 8 dixièmes moins 5 dixièmes soit 3 dixièmes. On n’oublie pas la virgule !!! 6 unités moins 7 unités, on ne sait pas faire on ajoute 10 unités au 1er terme et une dizaine au 2nd terme. La différence ne change pas. On obtient ainsi 16 unités moins 7 unités soit 9 unités… III) Ordre de grandeur 1) d’une somme Voir activité 8 p 31 : contrôler l’affichage d’une calculatrice Savoir faire : Pour obtenir un ordre de grandeur d’une somme, on peut additionner un ordre de grandeur de chaque terme. Exemple : Ordre de grandeur de 6871,74 + 4357 Un ordre de grandeur de 6871 peut être 7000 donc un ordre de grandeur de 6871,74 + 4357 peut être Un ordre de grandeur de 4357 peut être 4000 7000 + 4000 soit 11000 2) d’une différence Savoir faire : Pour obtenir un ordre de grandeur d’une différence, on peut soustraire un ordre de grandeur de chaque terme. Exemple : Ordre de grandeur de 2346 – 1154,37 Un ordre de grandeur de 2346 est 2000 donc un ordre de grandeur de 2346 – 1154,37 peut être Un ordre de grandeur de 1154,37 est 1000 2000 – 1000 soit 1000 ADDITION ET SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS I) Rappels * Les nombres plus petits que zéro sont dits négatifs. Ils sont notés avec le symbole - * Les nombres plus grands que zéro sont dits positifs. Ils sont parfois notés avec le symbole + * 0 est positif et négatif II) Distance à zéro 1187450228600-5 -4 B -3 -2 -1 0 1 2 3 A 4 5 00-5 -4 B -3 -2 -1 0 1 2 3 A 4 5 * La distance à zéro de (+3) est la longueur du segment [OA], c'est-à-dire 3. * La distance à zéro de (-3,5) est la longueur du segment [OB], c'est-à-dire 3,5. * Attention une distance est toujours positive. III) Comparaison de nombres relatifs Soient a et b deux nombres relatifs : * si a et b sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. Exemple : (+ 7,1) > (+ 3) * si a et b sont de signes contraires, le plus grand est le nombre positif. Exemples : (+ 6) > (--20) ; (+ 7,3) > (- 4,2) * si a et b sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche de zéro). Exemples : (- 23) > (- 42) ; (- 4,23) > (- 5) ; (- 1,6) < (- 1) IV) Addition de deux nombres relatifs Voir activité : « Les pièces d’or » 1) Addition de deux nombres relatifs de même signe La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre relatif dont : * le signe est le signe commun aux deux nombres ; * la distance à zéro est la somme des distances à zéro. Exemples : 23749016764000(+ 8) + (+ 11) = (+ 19) (- 5) + (- 4) = (- 9) 3968750273050037884102730500 résultat : signe commun :positif résultat : signe commun : négatif somme des distances à zéro : 8+11=19 somme des distances à zéro : 5+4=9 2) Addition de deux nombres relatifs de signe différents La somme de deux nombres relatifs de signes différents est le nombre relatif dont : * le signe est le signe du nombre qui à la plus grande distance à zéro ; * la distance à zéro est la différence des distances à zéro. Exemples : (- 3) + (+ 2) = (- 1) résultat : résultat négatif car (-3) a la plus grande distance à zéro différence des distances à zéro : la différence entre 3 et 2 est 1 (+ 8) + (- 3) = (+ 5) résultat : (+8) a la plus grande distance à zéro donc résultat Positif différence des distances à zéro : la différence entre 8 et 3 est 5 3) Opposé d’un nombre relatif Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro. Exemple : (-6) est l’opposé de (+6) car (-6)+ (+6)=0 V) Soustraction de deux nombres relatifs Soustraire un nombre relatif, c’est ajouter l’opposé de ce nombre. Exemples : (-9)-(+3)= (-9) +opposé(+3) 13-(-7)= 13 + opposé(-7) = (-9) +(-3) = 13 + 7 = (-12) = 20 -11-(+12)= -11+opposé(12) -33-(-15)= -33+opposé(-15) = -11+(-12) = -33+15 = -23 = -18 VI) Simplifications d’écritures 1) Suite d’additions de nombres relatifs Dans une suite d’additions, on peut supprimer les parenthèses et les signes d’addition. Exemple : A = (-5) + (+7,1)+ (-10) peut s’écrire : A = -5+7,1-10 2) Suite d’additions et de soustractions Dans une suite d’additions et de soustractions, il faut penser à remplacer toutes les soustractions par l’addition des nombres opposés. Exemple : B = +23-(-7)-(+1,8)+(-1) B = +23+(+7)+(-1,8)+(-1) On a transformé toutes les soustractions en additions. B = 23+7-1,8-1 On a simplifié l’écriture. B = 28,2-1 On a effectué le calcul. B = 27,2 ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS I) Valeurs approchées d’un quotient Lorsque la division de deux nombres a et b (b0) se « termine », le quotient est un nombre décimal. On peut donner sa valeur exacte. Exemples : = 0,625 ; =-3 Lorsque la division ne se termine pas, on peut donner des valeurs décimales approchées de . Exemples : la calculatrice affiche 3.1271271. La division ne se termine pas. Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut tronquer ou arrondir. 3 est la troncature à l’unité de 3,12 est la troncature au centième de 3 est l’arrondi à l’unité de car 3,1 est plus proche de 3 que de 4. 3,1 est l’arrondi au dixième de car est plus proche de 3,1 que de 3,2. 3,13 est l’arrondi au centième de . II) Comment déterminer si des quotients sont égaux ? Voir activité : « fractions et calculatrice » 1) Propriété Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas si l’on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre relatif non nul (différent de 0). Notation : soient a, b, k des nombres relatifs avec bet k (car on ne peut pas diviser par 0) alors on a : et Exemples : = = = = 2) Signe d’un quotient : Si a est un nombre relatif et b un nombre relatif non nul (différent de 0) alors et Remarque importante : Faire attention aux nombres, aux signes…pour mettre les traits de fractions Exemple : A faire à la calculatrice et 3) Produits en croix Activité : But : trouver une méthode facile pour prouver que deux fractions sont égales. 5/7 et 10/14 3/9 et 9/12 5/11 et 85/187 *17 7/11 et 27,3/42,9 *3,9 Pour tous les nombres a, b, c et d (avec b0 et d0) : Si alors a d = b c Exemple : alors 5,2 14 = 8 9,1 Réciproquement, si a d = b c alors Exemple : 3 4 = 6 2 alors III) Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire Voir activité : « Une plaque de chocolat » 1) Savoir faire Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire : 1) on réduit les deux nombres fractionnaires au même dénominateur 2) on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur Notation : soient a, b, c des nombres relatifs avec c alors on a et 2) Exemples … … … … … Dans le cas de dénominateurs différents, le but est de trouver un multiple commun aux deux. Dans certains cas, nous n’avons pas le choix, le plus petit multiple commun n’est autre que le produit des deux dénominateurs. ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS I) Comment déterminer si des quotients sont égaux ? 1) Propriété Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas si l’on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre relatif non nul (différent de 0). Notation : soient a, b, k des nombres relatifs avec bet k (car on ne peut pas diviser par 0) alors on a : et Cela permet notamment de simplifier une fraction Exemples : = = = = 2) Signe d’un quotient : Si a est un nombre relatif et b un nombre relatif non nul (différent de 0) alors et Exemple : 3) Produits en croix Voir activité : fractions égales propriété Si pour tous les nombres a, b, c et d (avec b0 et d0) on a   alors a d = b c Exemple : Si alors 5,2 14 = 8 9,1 propriété Réciproquement, si pour tous les nombres a, b, c et d (avec b0 et d0) on a a d = b c alors Exemple : 3 4 = 6 2 alors II) Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire 1) Savoir faire Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire : 1) on réduit les deux nombres fractionnaires au même dénominateur 2) on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur Notation : soient a, b, c des nombres relatifs avec c alors on a et 2) Exemples … … … … … Dans le cas de dénominateurs différents, le but est de trouver un multiple commun aux deux. Dans certains cas, nous n’avons pas le choix, le plus petit multiple commun n’est autre que le produit des deux dénominateurs. Méthode : Calculer B = B = On écrit des nombres égaux et de dénominateurs positifs. Multiples de 13 : On réduit les fractions au même dénominateur, c’est à Multiples de 7 : dire que l’on écrit des fractions de même dénominateur égales aux fractions données. Pour cela, on cherche un multiple commun aux deux dénominateurs. B = B = B = SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS I) Soustraction de nombres relatifs Soustraction de deux nombres relatifs. Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Ainsi on peut transformer une soustraction en une addition. Exemples : 7 – (+4) = 7 + (-4) = 3 (+4,5) – (-10,5) = (+4,5) + (+10,5) = +15 (-18) – (+24,5) = (-18) + (-24,5) = -42,5 II) Distance de deux points d’une droite graduée Distance de deux points d’une droite graduée. La distance de deux points d’une droite graduée est égale à la différence entre l’abscisse la plus grande et l’abscisse la plus petite. Exemples : 5435606985. . A -3 . . . . . 0 B 1 . . 00. . A -3 . . . . . 0 B 1 . . L’abscisse de B est plus grande que celle de A donc AB = 1 – (-3) = 1 + 3 = 4 2203458890D -5 . . . . . . C -1 . 0 . . 00D -5 . . . . . . C -1 . 0 . . L’abscisse de C est plus grande que celle de D donc CD = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4 Remarque : Une distance est toujours un nombre positif ou nul. III) Simplifications d’écritures Un nombre positif peut s’écrire sans le signe + et sans les parenthèses. Le premier terme d’une somme ou d’une différence peut s’écrire sans parenthèses. Exemples : (+11,5) – (+4,5) = 11,5 – 4,5 = 7 (-8) + (+3) = -8 + 3 = -5