Corps commutatif.docx

Corps (Commutatifs) Définition Soit K un ensemble muni de deux lois + et . On dit que est un corps (au sens corps commutatif) lorsque : est un groupe commutatif (de neutre noté ) est un groupe commutatif (de neutre noté ) est distributive sur +. Ainsi, cela revient à dire que est un corps lorsque est un anneau commutatif non réduit à et tout élément de admet un inverse pour la loi . Exemple : et sont des corps. Sous corps Soit un corps et soit L une partie de K. On dit que L est un sous corps de K lorsque : L est stable par + et . et Proposition : Si L est un sous corps d’un corps , alors + et constituent des lois de composition internes sur L, et est un corps. Exemple : R est un sous corps de . Un calcul dans un corps : somme de termes en progression géométrique Soit . Soit une suite d’éléments de K. Soit On suppose que est géométrique de raison q, c'est-à-dire : Soit , et soit . Alors : Si , Si , Morphisme de corps C’est la même chose qu’un morphisme d’anneaux. Remarque : La clause (3) de la définition d’un morphisme d’anneau de A vers B qui demande que l’image de soit peut être oubliée lorsque A et B sont des corps, car elle est alors conséquence de (1) et (2). Corps des fractions d’un anneau intègre Théorème et définition (admis) : Soit un anneau intègre. Alors il existe un corps , unique à isomorphisme près, tel que : - est un sous anneau de (autrement dit, A est inclus dans K et les lois + et sur K prolongent les lois + et sur A) - Tout élément x de K s’écrit avec , On dit alors que K est le corps des fractions de A. Exemple : Q est le corps des fractions de Z.