Transcript
Distribution de charges et de courants
Distribution volumique, surfacique, linéique
Densité volumique
On considère un volume élémentaire .
Densité volumique de charge
.
Donc
Densité surfacique de courant volumique
On prend une surface élémentaire orientée :
La charge qui traverse pendant est (définition de )
Et
On a déjà montré que .
Cas particuliers :
Pour des porteurs identiques, :
(n : nombre de porteurs par unité de volume, : vitesse moyenne)
Donc ou, avec (densité volumique de charges mobiles) :
Pour des porteurs différents :
Densité volumique de force de Lorentz
On a, dans le volume , pour chaque particule,
(, : valeur moyenne des champs dans le volume)
Donc
Soit
On a donc une densité volumique de force de Lorentz
Distributions surfaciques
Densité surfacique de charge
On pose . Ainsi,
Densité linéique de courant surfacique
On a .
Et
On aura ici ( : élément de surface sur )
Et
Distribution linéique
Densité linéique de charge
On pose
Densité de courant linéique = courant
On pose :
Donc
Et
( sont colinéaires)
Récapitulatif :
Charge élémentaire :
Elément de courant :
Intensité élémentaire :
Ordres de grandeur
Densité de charges mobiles
Ainsi, on a une densité volumique de porteurs
Donc
Comparaison :
Pour un volume (1mL) de cuivre :
Si on veut retirer tous les électrons de conduction (libres) et les mettre 10cm plus loin : la charge restante est
Donc la force s’exerçant entre les deux parties a un module :
Par comparaison, le Soleil exerce sur la Terre une force de module !
Et le travail à fournir pour amener ces charges est de
Vitesse des porteurs
Vitesse thermique :
On utilise le modèle de Drude : les électrons dans un conducteur sont comme des particules d’un gaz parfait.
Ainsi,
Et
Vitesse de dérive :
C’est quand le conducteur est parcouru par un courant (s’il n’y a pas de courant, )
Pour un fil de section , parcouru par un courant , on a , soit
Ainsi, les électrons ont une vitesse d’agitation très importante, mais globalement, même traversés par un courant assez important, ils ont une vitesse moyenne très faible.
Postulat de la charge
Conservation
Expression globale
Pour une surface fermée fixe dans un référentiel quelconque, on a
Soit , donc
Expression locale
Remarque :
En régime permanent (),
Ce postulat est aussi valable en relativité.
Invariance
Postulat
La charge est invariante par changement de référentiel.
Transformation galiléenne des charges et des courants
Dans un référentiel R à l’instant t :
On considère des charges dans un volume
Dans R,
, et
, soit
Dans un référentiel R’ en translation à la vitesse par rapport à R :
On cherche .
On a par invariance , et . Donc
On a de plus ; et, avec :
Remarque :
Ces formules ne sont pas valables en relativité :
La formule de composition des vitesses n’est pas valide
Et la longueur, donc le volume, n’est pas invariante par changement de référentiel.
Loi d’Ohm locale
Loi d’Ohm en régime permanent
Expression
Un champ électrique provoque un courant . Si , on dit que la loi d’Ohm est vérifiée dans le matériau.
s’appelle alors la conductivité électrique du milieu.
Discussion
C’est une loi phénoménologique (correspond à un DL au premier ordre), et macroscopique.
Elle est analogue à la loi de Fourier
Elle traduit un phénomène irréversible
La loi est valable uniquement dans un matériau isotrope
Domaines de validité :
Dans les métaux et les solutions ioniques, la loi est généralement très bien vérifiée.
Pour les mauvais conducteurs ou les gaz, les résultats sont moins bons :
On peut avoir un « plat », ou des termes d’ordre 2 qui apparaissent rapidement :
(Dans le deuxième cas, on a un claquage diélectrique : les électrons sont arrachés)
On a réussi à créer des matériaux pour lesquels
C’est une loi locale.
La loi globale correspondante est .
En effet :
On a ,
Comme , on a
dépend de la température :
Pour les métaux, (les métaux sont moins bons conducteurs à haute température).
Pour une solution ionique,
Supraconducteurs :
(En dessous d’un certain seuil, la résistivité devient indétectable)
Pour appliquer la loi d’Ohm, la seule force motrice doit être :
Il ne doit pas y avoir de champ magnétique, ou il faut pouvoir le négliger.
Lorsqu’on a un gradient de température, la loi s’écrit sous la forme
Ordres de grandeur :
Pour l’argent,
Pour le soufre,
La conductivité varie sur un très grand domaine.
Interprétation
Modèle macroscopique :
On va essayer de retrouver la loi d’Ohm :
Pour une particule chargée moyenne de charge q, au nombre de n par unité de volume, et de vitesse , on a :
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
; on voit déjà que cette formule ne conviendra pas, car on trouvera au mieux une relation entre et .
Hypothèse ad hoc (« on ajoute ce qu’il faut pour que ça marche ») :
On suppose que la particule est soumise en plus à une force de frottement visqueux .
Ainsi, l’équation devient :
En régime permanent :
On a
Attention, on ne peut pas écrire pour autant !
Visualisation, avec un fleuve :
En régime permanent, on aura en un point particulier du fleuve
Mais si on suit une particule le long de son parcours, !
correspond en fait à une dérivée locale.
Calcul de :
Plus généralement pour une fonction .
Pour une petite variation de x, y, z, t :
Soit
Le terme correspond à une dérivée locale, à une dérivée convective.
Pour dans ce cas, on aura :
On va supposer que est négligeable devant et .
Alors
Conductivité :
On a ainsi
Donc
Modèle microscopique :
Modèle :
On prend cette fois les porteurs individuellement, de charge , de vitesse , soumis à deux forces :
Interactions avec les autres particules du milieu, par des chocs :
On suppose que est totalement indépendant de (la particule « oublie » sa vitesse d’avant)
Cela revient à supposer que lorsqu’on voit une particule avec une certaine vitesse après un choc, on ne peut pas déterminer quelle avait été sa vitesse avant, ce qui est assez naturel.
On a
Donc
Expression de :
( : vitesse à la sortie du dernier choc)
Donc
D’après l’hypothèse faite, car les particules peuvent repartir dans n’importe quelle direction, avec n’importe quel module.
Donc ( : temps de parcours moyen entre deux chocs)
Ainsi,
C'est-à-dire .
Discussion :
On a , donc
C'est-à-dire
Ainsi, les chocs se traduisent en moyenne par un frottement visqueux.
Pour un métal (cuivre) :
On a , ,
où d est la distance entre deux ions, et la vitesse thermique des porteurs. Ainsi, avec , , on a .
D’où
Si on avait en plus un champ magnétique, le principe s’écrirait :
Si on ne peut pas négliger , la loi ne s’applique plus.
En réalité, une théorie plus complète montre que la conductivité est due à des interactions des électrons avec les défauts du réseau.
Loi d’Ohm en régime variable
On suppose que
(On peut ensuite généraliser à un régime variable quelconque avec les transformées de Fourier)
Conductivité complexe
On a
Ou
(On admet que les termes supplémentaires sont effectivement négligeables)
On cherche donc des solutions sous la forme
Dans l’équation,
Ou
Donc
C'est-à-dire
Où est la conductivité en régime permanent.
Ainsi, on aura une différence de phase du courant sur le champ
Remarque :
On n’utilise les que pour indiquer une transformée de Fourier ; ici, est simplement un coefficient, qui se trouve être complexe.
Cas limites
Lorsque , ou
On a alors
Lorsque ,
On a
Donc
On verra que correspond à la puissance volumique dissipée par effet Joule.
Ordres de grandeur :
On doit avoir pour que les effets se fassent sentir, c'est-à-dire une fréquence
Complément
Densité de charge dans un conducteur ohmique
On note la densité de charge totale du conducteur (mobiles et fixes), et on suppose qu’on a un conducteur ohmique, c'est-à-dire que .
On suppose enfin que est indépendant du point.
Conducteur à l’équilibre
A l’équilibre,
donc
Comme , on a même .
Conducteur en régime permanent
On aura
Mais (conservation de la charge)
Donc , soit , donc .
Conducteur en régime variable
Ici, , , dépendent du temps.
Transformée de Fourier
On a , soit
Et où
Et soit
(On considère pour simplifier que )
On obtient alors, après calcul, l’équation :
, où
Ordres de grandeur :
Pour un bon conducteur,
Et
On a , du même ordre de grandeur pour tous les conducteurs (à porteurs identiques, est constant)
En régime quelconque :
L’équation devient :
Equation caractéristique :
,
Pour un bon conducteur, , donc
Et (L’autre terme est divergent)
Dans un mauvais conducteur, , et
Donc , et l’ensemble est amorti avec une constante de temps .
Dans les deux cas, le système est amorti avec la constante de temps la plus grande entre et .
Régime sinusoïdal :
On cherche
Donc soit ,
Soit
Pulsation plasma :
Il faut que la partie imaginaire soit nulle ou négligeable, c'est-à-dire , ou
Pour la partie réelle : on doit avoir , c'est-à-dire , pulsation plasma.
Et on peut avoir alors en régime permanent.
Interprétation :
Le bloc de porteurs se déplace « en bloc » d’une petite distance x.
Ainsi, il n’y a plus de porteurs à gauche.
On laisse alors le système évoluer :
Entre les deux couches, on a un champ
Donc le champ tend à le faire revenir vers leur position initiale.
On a alors un oscillateur harmonique :
Principe fondamental de la dynamique appliqué à un porteur moyen :
Soit
Et on a donc une pulsation
Ainsi, est la pulsation propre du système de charges.
