Pricer Option .docx

Finance & Ingénierie Financière Réalisation d’un Pricer d’Options & Analyse comparée des performances des modèles de Black & Scholes & Cox, Ross & Rubinstein avec les valeurs observées des options sur trois actions aux volatilités différentes. INTRODUCTION Le concept d’option est, à en croire bon nombre d’auteurs, très ancien. En effet, certains font référence à Jacob dans la Bible qui aurait souscrit une option pour épouser la fille de Laban, Rachel, pour évoquer les origines de cette pratique. Plus connu et moins lointain, le commerce batave des tulipes au XIV° siècle a été à l’origine du premier marché à terme de l’histoire et par voie de conséquences des options. Le premier marché organisé d’options a été inauguré en avril 1973 à Chicago. Il s’agissait du Chicago Board Option Exchange, plus connu sous l’appellation CBOE. Il y avait alors inscrit à sa côte que sept options et uniquement d’achat. Il fallut attendre quatre ans pour que côte la première option de vente ! La France aurait pu être un des premiers pays à mettre en place un marché d’options négociables si les préconisations d’un rapport ministériel y incitant de 1969 avait su convaincre les autorités financières. Au lieu de cela, la France pris le train en marche avec quelques douze années de retard en créant par la loi de 1985 le MATIF, puis, le 10 septembre 1987, le MONEP avec trois valeurs supports : Lafarge, Peugeot & Paribas. Depuis, bien évidemment, les choses ont fortement changé et les options connaissent désormais un formidable succès. La grande popularité des options auprès des investisseurs tient au fait qu’elles représentent un outil de placement extrêmement souple. Combiné à des portefeuilles d’actions, les options peuvent aider l’investisseur à limiter le risque de perte ou à augmenter le potentiel du rendement des actions détenues. De plus, les options permettent à l’investisseur d’ajouter un levier à ses placements tout en en assurant la couverture. Une option est un contrat transférable qui confère à son détenteur le droit d’acheter ou de vendre un élément d’actif spécifique à un prix donné durant une durée précise (option à l’américaine) ou à une date donnée (option à l’européenne). C’est le prix de ce contrat, appelé prime, qui est négociable. Le contractant qui sera amené à livrer l’élément d’actif n’est pas tenu de posséder cet actif, ce qui autorise la vente à découvert et le montage de certaines stratégies. Ainsi, il est important de noter que le contractant possède un droit et non une obligation de respecter l’engagement pris. C’est en cela que cet instrument financier est une option et non un contrat à terme (futures). A l’échéance, trois cas de figures sont alors possible, l’option est : hors de la monnaie : l’option n’a aucune valeur car il est plus profitable d’aller directement sur le marché acquérir le sous-jacent du contrat que d’exercer l’option, à la monnaie : le prix d’exercice de l’option est équivalent à celui du sous-jacent, dans la monnaie : le prix du sous-jacent est tel qu’il est plus profitable d’exercer l’option. Il y a 6 facteurs exogènes et endogènes influents sur le prix d’une prime d’option : Déterminants exogènes de la valeur d’une prime d’option négociable : Le prix actuel de l’action, ou Spot – S - La volatilité de l’action, sigma, Le taux d’intérêt sans risque, r Les dividendes prévus durant la vie de l’option () Déterminants endogènes de la valeur d’une prime d’option négociable : Le prix d’exercice, ou Strike – E - La maturité, T Il coexiste deux grands modèles d’évaluation des options : Le modèle de Fischer BLACK et Myron SCHOLES, publié en 1973, & le modèle binomial, élaboré par J.C Cox, S.A. Ross et M. Rubinstein en 1979. Le premier est un modèle qui est calculé en temps continu, tandis que le second est calculé en temps discret. Mon but à travers ce mémoire est double : J’ai souhaité tout d’abord réaliser un calculateur de prime d’option , et de ses principales sensibilités, selon ces deux modèles, conviviale et simple d’utilisation sous excel ; et comparer par la suite, les résultats théoriques obtenus par les deux méthodes aux véritables prix des options à court terme et à long terme sur trois valeurs différemment volatiles : ALCATEL, LAFARGE & CARREFOUR. L’idée de ce mémoire m’est venue après une anecdote faite en cours par Pierre GRUSON relatant sa différence de point de vue avec Jean-François REGNARD quant à la pertinence des deux méthodes et par conséquent de celle qu’ils préféraient. Je vais donc débuter mon mémoire en présentant non exhaustivement les deux méthodes d’évaluation des options, puis je présenterai le calculateur que j’ai réalisé sous excel et enfin j’analyserai les résultats que j’ai obtenus lors de la comparaison des modèles aux valeurs du marché. I – PRESENTATION DES MODELES D’EVALUATION DES OPTIONS NEGOCIABLES LE MODELE DE BLACK & SCHOLES Cette formule a été publiée sous le titre « The pricing of options and corporate liabilies » dans le « journal of Political economy » de mai-juin 1973. La formule de B&S constitue le début de la finance stochastique qui est le calcul des probabilités appliqué au traitement des données statistiques pour évaluer les instruments financiers. Conditions de validité de la formule : le taux d’intérêt sans risque est constant pendant la durée de vie de l’option, les actifs se négocient en continu 24h/24h, la volatilité est considérée constante durant la vie de l’option, l’actif sous jacent ne verse pas de dividendes ( modifié par Robert MERTON), les options sont européennes il est impossible de réaliser des profits d’arbitrage La valeur d’un Call C est donc : et d’un Put P : Formules « améliorées » du taux de dividendes continu, d, rajouter par Robert Merton, co-prix Nobel avec Scholes. avec : d1 = d2 = C = Valeur de la prime du call P = Valeur de la prime du Put d = Taux de dividende S = Cours du sous jacent, Spot E = Prix d’exercice, strike r = Taux d’intérêt sans risque annualisé à la durée t t = Durée de vie résiduelle de l’option en année = Volatilité du taux de rentabilité de l’actif N(x) = Valeur cumulative de la loi normale, représentant la probabilité que le cours de l’actif arrive à échéance entre moins l’infini et x L’avantage principal de cette formule réside dans le fait qu’elle est facilement paramétrable sous un tableur. LE MODELE DE COX, ROSS & RUBINSTEIN  On démontre en résolvant les équations stochastiques du modèle de Black & Scholes que le cours d'un actif varie selon une loi gaussienne. D'autre part, on sait qu'une loi gaussienne est la limite d'une loi binomiale. L'idée du modèle de C.R.R. est donc de considérer dans un premier temps que le cours d'un actif varie selon une loi binomiale et puis d'étendre les résultats obtenus au cas gaussien. L'intérêt est, d'une part, d’éviter le modèle continu qui donne lieu à des équations stochastiques souvent difficiles à traiter et de travailler avec des modèles discrets qui sont plus simples, et de construire, d'autre part, un modèle qui soit valable même dans le cas des options américaines par exemple, puisque le modèle de Black & Scholes est limité aux options européennes. Principe : Le prix du sous jacent peut à partir de sa valeur initiale S monter ou descendre d’un coefficient de hausse « up » = et de baisse « down » = avec dt = où n représente le nombre de période. Sachant que la probabilité de hausse est p = et de baisse est q = 1 – p ; alors on obtient pour les ‘j’ hausses durant les ‘n’ périodes : La valeur de est donnée par le triangle de Pascal. Concrètement, il suffit de calculer pour chaque j variant de 0 à n, la valeur de puis de faire la somme de chaque résultat. Cette somme donne la valeur du call. Ces calculs résument l’évolution période par période de la valeur du call selon le nombre de hausse qu’il peut connaître sur les n périodes définies. La feuille excel ‘Détails calculs Cox Ross & Rub’ montre le cheminement de ce calcul pour obtenir la valeur de la prime. LA PARITE DE STOLL : « CALL-PUT » La relation de STOLL, découverte bien avant la conceptualisation des formules d’évaluation d‘options, lie entre elle la valeur théorique d’une prime de Call et d’une prime de Put aux caractéristiques similaires. Cette parité s’exprime ainsi : C’est pourquoi chacune des formules d’évaluation d’option est parfaitement symétrique entre son expression du call et celle du put. II – ELABORATION DU CALCULATEUR D’OPTIONS & DES PRINCIPALES SENSIBILITÉS SOUS EXCEL PRESENTATION Le but de ce calculateur est d’offrir une interface conviviale et simple d’utilisation. Il doit permettre de calculer automatiquement les éléments voulus en entrant les variables clés. Cependant j’ai voulu aussi que ce calculateur puisse aussi permettre de comprendre comment se construisent les résultats et comment les analyser. Les variables du calculateur sont : INPUTS : Données de l’action : Prix de l’action, spot – S – Volatilité, -Sigma- Taux sans risque, -r- Données de l’option : Prix d’exercice, strike – E – Durée jusqu’à l’exercice, -t- Nombre de périodes, -n- OUTPUTS Méthode de Black & Scholes : Prime de Call Prime de Put Méthode de Cox, Ross & Rubinstein : Prime de Call européen et américain Prime de Put européen et américain Principales sensibilités de l’option: Delta Gamma Véga Thêta Rhô La feuille ‘stratégie straddle’ permet d’élaborer un portefeuille suivant la stratégie du stellage. Elle permet de connaître les gains potentiels selon la composition du portefeuille avec les données rentrées en inputs dans le pricer. PROGRAMMATION EN VISUAL BASIC Le désir de créer une interface conviviale pour l’utilisateur du calculateur m’a poussé à développer des fonctions excel récapitulant les formules principales du calcul des options. Ainsi, les principaux outputs sont disponibles sous forme de fonctions. Fonctions VBA : d1 : Function scm_d1(S, X, t, r, sigma) scm_d1 = (Log(S / X) + r * t) / (sigma * Sqr(t)) + 0.5 * sigma * Sqr(t) End Function Call Black & Scholes : Function scm_BS_call(S, X, t, r, sigma) scm_BS_call = S * Application.NormSDist(scm_d1(S, X, t, r, sigma)) - X * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(scm_d1(S, X, t, r, sigma) - sigma * Sqr(t)) End Function Put Black & Scholes : Function scm_BS_put(S, X, t, r, sigma) scm_BS_put = scm_BS_call(S, X, t, r, sigma) + X * Exp(-r * t) - S End Function Delta : Function delta(S, X, t, r, sigma) delta = Application.NormSDist(scm_d1(S, X, t, r, sigma)) End Function Thêta Call : Function calltheta(S, X, t, r, sigma) calltheta = (-1) * ((S * sigma * Application.NormDist(scm_d1(S, X, t, r, sigma), 0, 1, False)) / (2 * Sqr(t))) - r * X * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(scm_d1(S, X, t, r, sigma) - sigma * Sqr(t)) End Function Thêta Put : Function puttheta(S, X, t, r, sigma) puttheta = (-1) * ((S * sigma * Application.NormDist(scm_d1(S, X, t, r, sigma), 0, 1, False)) / (2 * Sqr(t))) + r * X * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(-(scm_d1(S, X, t, r, sigma) - sigma * Sqr(t))) End Function Call Rhô : Function callrho(S, X, t, r, sigma) callrho = X * t * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(scm_d1(S, X, t, r, sigma) - sigma * Sqr(t)) End Function Put Rhô : Function putrho(S, X, t, r, sigma) putrho = -1 * X * t * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(-(scm_d1(S, X, t, r, sigma) - sigma * Sqr(t))) End Function Call européen Cox, Ross & Rubinstein : Function scm_bin_eur_call(S, X, rf, sigma, t, n) dt = t / n up = Exp(sigma * Sqr(dt)) down = Exp(-sigma * Sqr(dt)) r = Exp(rf * dt) p = (r - down) / (r * (up - down)) q = (1 / r) - p scm_bin_eur_call = 0 For Index = 0 To n scm_bin_eur_call = scm_bin_eur_call + Application.Combin(n, Index) * p ^ Index * q ^ (n - Index) * Application.Max((S * up ^ Index) * (down ^ (n - Index)) - X, 0) Next Index End Function Call américain Cox, Ross & Rubinstein : Function scm_bin_am_call(S, X, rf, sigma, t, n) dt = t / n up = Exp(sigma * Sqr(dt)) down = Exp(-sigma * Sqr(dt)) r = Exp(rf * dt) p = (r - down) / (r * (up - down)) q = (1 / r) - p Dim OptionReturnEnd() As Double Dim OptionReturnMiddle() As Double ReDim OptionReturnEnd(n + 1) For State = 0 To n OptionReturnEnd(State) = Application.Max(S * up ^ State * down ^ (n - State) - X, 0) Next State For Index = n - 1 To 0 Step -1 ReDim OptionReturnMiddle(Index) For State = 0 To Index OptionReturnMiddle(State) = Application.Max(S * up ^ State * down ^ (Index - State) - X, q * OptionReturnEnd(State) + p * OptionReturnEnd(State + 1)) Next State ReDim OptionReturnEnd(Index) For State = 0 To Index OptionReturnEnd(State) = OptionReturnMiddle(State) Next State Next Index scm_bin_am_call = OptionReturnMiddle(0) End Function Put européen Cox, Ross & Rubinstein : Function scm_bin_eur_put(S, X, rf, sigma, t, n) dt = t / n up = Exp(sigma * Sqr(dt)) down = Exp(-sigma * Sqr(dt)) r = Exp(rf * dt) p = (r - down) / (r * (up - down)) q = (1 / r) - p scm_bin_eur_put = 0 For Index = 0 To n scm_bin_eur_put = scm_bin_eur_put + Application.Combin(n, Index) * p ^ Index * q ^ (n - Index) * Application.Max(X - S * (up ^ Index * down ^ (n - Index)), 0) Next Index End Function Put américain Cox, Ross & Rubinstein : Function scm_bin_am_put(S, X, rf, sigma, t, n) dt = t / n up = Exp(sigma * Sqr(dt)) down = Exp(-sigma * Sqr(dt)) r = Exp(rf * dt) p = (r - down) / (r * (up - down)) q = (1 / r) - p Dim OptionReturnEnd() As Double Dim OptionReturnMiddle() As Double ReDim OptionReturnEnd(n + 1) For State = 0 To n OptionReturnEnd(State) = Application.Max(X - S * up ^ State * down ^ (n - State), 0) Next State For Index = n - 1 To 0 Step -1 ReDim OptionReturnMiddle(Index) For State = 0 To Index OptionReturnMiddle(State) = Application.Max(X - S * up ^ State * down ^ (Index - State), q * OptionReturnEnd(State) + p * OptionReturnEnd(State + 1)) Next State ReDim OptionReturnEnd(Index) For State = 0 To Index OptionReturnEnd(State) = OptionReturnMiddle(State) Next State Next Index scm_bin_am_put = OptionReturnMiddle(0) End Function III - ANALYSE COMPAREE DES DEUX MODELES D’EVALUATION D’OPTIONS AVEC LE PRIX DU MONEP D’OPTIONS SUR ACTIONS DIFFEREMMENT VOLATILITES PRESENTATION DE L’ETUDE Le but de cette étude est d’essayer de distinguer dans quel cas de figure l’un des deux modèles vus précédemment est plus performant que son concurrent. Afin de réaliser cette étude, j’ai choisi de comparer la valeur réelle des primes d’options de trois valeurs, qui ont des volatilités différentes, à leurs valeurs théoriques. J’ai choisi pour cette étude les valeurs suivantes : Alcatel, titre fortement volatile, Lafarge, titre moyennement volatile, Carrefour, titre peu volatile. J’ai recueilli les valeurs des primes d’options sur Internet sur le site du MONEP, le 19 novembre 2001. Les options sur ces 3 actions sont : Options sur Alcatel : CGE – court terme - CG3 – long terme - Options sur Lafarge : LG – court terme - LG2 – long terme - Options sur Carrefour CA – court terme - CA2 – long terme – J’ai donc réalisé une feuille pour chaque call et chaque put de chacune des catégories décrites au dessus. Les informations dont j’avais besoin étaient le cours du jour du titre, la volatilité historique, la date de maturité, le prix d’exercice et le prix réel constaté sur le marché de l’option. Ainsi, je pouvais calculer tout d’abord la volatilité implicite de l’option avant de calculer le prix de l’option par les deux méthodes de Black & Scholes et de Cox, Ross & Rubinstein. Pour le calcul des primes par la méthode de C.R.R., j’ai pris le nombre de jours à parcourir jusqu’à la maturité pour obtenir le nombre de périodes de l’arbre de décisions du modèle binomial. J’ai donc obtenu pour chaque option une valeur par méthode. J’ai calculé l’écart en pourcentage qui les séparait respectivement de la valeur réelle du marché. J’ai, par la suite, comparé ces écarts et identifié pour chaque option lequel des modèles était le plus proche de la valeur réelle. Il suffisait donc de compter lequel des modèles était le plus souvent « gagnant » pour déterminer lequel était le meilleur dans le cas de figure étudiée. Mais il m’a semblé plus pertinent de comparer l’écart moyen des modèles sur l’ensemble du type d’options étudié. En effet, il se peut qu’un modèle « gagne » quantitativement alors que son écart moyen aux valeurs réelles était plus élevé que l’autre modèle. Ceci m’a paru, donc, plus judicieux, au vu du trop petit nombre d’options de certaines catégories, de comparer les moyennes des écarts, pour déterminer de façon pertinente lequel des modèles était le plus performant. (exemple : le call Lafarge LG2 ne compte que deux valeurs…) ANALYSE DES RESULTATS OBTENUS Je vais analyser les résultats obtenus en trois temps : Analyse du modèle le plus performant selon le type d’actions, Analyse du modèle le plus performant selon le type d’options, Analyse du modèle le plus performant selon l’échéance de l’option. Il en ressortira un modèle « gagnant » selon l’angle d’études de l’option. Résultats par types d’actions : J’ai étudié trois types d’actions volatiles, je vais donc observer lequel des modèles s’applique le mieux selon la volatilité d’une option. MOYENNE des ECARTS Volatilité BS CRR meilleur ALCATEL CT CALL 5.49% 5.31% CRR 62.66 PUT 35.69% 37.41% BS LT CALL 17.18% 17.06% CRR PUT 5.91% 5.91% CRR LAFARGE CT CALL 6.88% 5.96% CRR 30.81 PUT 19.58% 21.52% BS LT CALL 2.75% 2.85% BS PUT 8.98% 9.57% BS CARREFOUR CT CALL 10.32% 9.95% CRR 31.60 PUT 17.89% 18.44% BS LT CALL 19.68% 19.62% CRR PUT 4.65% 4.73% BS Le modèle de Cox, Ross & Rubinstein semble être le modèle d’évaluation le plus proche en moyenne de la vraie valeur des options sur Alcatel, l’action la plus volatile. Le modèle de Black & Scholes semble être, en revanche, le modèle d’évaluation le plus proche en moyenne de la vraie valeur des options sur Lafarge, action moyennement volatile. Cependant, il est plus difficile d’identifier un modèle sublimant son concurrant vis à vis des options sur Carrefour. Mais, on peut, tout de même, remarquer que le modèle de C.R.R. est plus performant sur les options d’achats et celui de B&S sur les options de ventes. Résultats par type d’options : Le but ici est d’identifier si un modèle sur-performe son concurrent vis à vis du type d’options : Options d’achats court terme, Options d’achats long terme, Options de ventes court terme, Options de ventes long terme.     MOYENNE des ECARTS     BS CRR meilleur CALL COURT TERME ALCATEL 5.49% 5.31% CRR LAFARGE 6.88% 5.96% CRR CARREFOUR 10.32% 9.95% CRR LONG TERME ALCATEL 17.18% 17.06% CRR LAFARGE 2.75% 2.85% BS CARREFOUR 19.68% 19.62% CRR PUT COURT TERME ALCATEL 35.69% 37.41% BS LAFARGE 19.58% 21.52% BS CARREFOUR 17.89% 18.44% BS LONG TERME ALCATEL 5.91% 5.91% CRR LAFARGE 8.98% 9.57% BS CARREFOUR 4.65% 4.73% BS L’analyse que j’ai menée laisse entrevoir que le modèle de C.R.R. est particulièrement efficace sur les options d’achats et en particulier sur les calls court terme. De même, le modèle de B&S semble plus efficace sur les options de ventes et surtout sur les puts court terme. Résultats par échéance : J’ai sélectionné les options à court terme et à long terme des actions que j’ai étudiées. Ainsi, j’ai essayé d’étudier si un modèle semblait plus performant au regard de l’éloignement relatif de l’échéance.     MOYENNE des ECARTS     BS CRR meilleur COURT TERME ALCATEL CALL 5.49% 5.31% CRR PUT 35.69% 37.41% BS LAFARGE CALL 6.88% 5.96% CRR PUT 19.58% 21.52% BS CARREFOUR CALL 10.32% 9.95% CRR PUT 17.89% 18.44% BS LONG TERME ALCATEL CALL 17.18% 17.06% CRR PUT 5.91% 5.91% CRR LAFARGE CALL 2.75% 2.85% BS PUT 8.98% 9.57% BS CARREFOUR CALL 19.68% 19.62% CRR PUT 4.65% 4.73% BS Au vu des résultats obtenus, il ne semble pas qu’un modèle soit particulièrement plus performant que son concurrent vis à vis de l’échéance de l’option. Résultats Croisés : Conclusion Le modèle de Cox, Ross & Rubinstein semble être particulièrement efficace lors du calcul : de calls, et particulièrement ceux dont l’échance est proche et dont le sous-jacent est volatile ; Le modèle de Black & Scholes semble être particulièrement efficace lors du calcul : de puts. De façon plus générale, au vu des résultats obtenus, les modèles d’évaluation semblent être plus performants, autrement dit la moyenne des écarts est d’autant plus faible que la volatilité du sous-jacent est élevée. De plus, au regard du relatif grand nombre de périodes observées, on se rend compte que les résultats théoriques obtenus par les deux modèles sont plutôt proches, ce qui confirme qu’un modèle discret (C.R.R.) converge vers un modèle continu (B.&S.) lorsque le nombre de subdivisions est élevé. CONCLUSION L’immense développement des marchés à terme et de l’utilisation des options a rendu indispensable la construction de ces formidables outils que sont les modèles d’évaluation des options négociables. Ce mémoire ne peut avoir la prétention d’arbitrer entre les deux modèles de Black & Scholes et de Cox, Ross & Rubinstein. Il a vocation simplement de répondre à la curiosité qui a amené sa rédaction. En effet, mon but était d’observer les différences, non exhaustives certainement, qui peuvent apparaître entre les modèles et entre les modèles et le marché. Bien évidemment, une étude statistique beaucoup plus approfondie pourrait peut être répondre à ces questions de façon plus précise, mais cela est-il vraiment nécessaire ? Dans la pratique, les traders sur options utilisent des logiciels d’évaluation qui leur permettent de distinguer si des légères inefficiences apparaissent sur le marché en temps réel. Le marché a besoin de repères et admet les astuces mathématiques usées par les auteurs de ces modèles sans rechercher de manière théorique lequel est plus cohérent que l’autre, mais plutôt lequel est le plus pratique pour eux. C’est en suivant cette orientation de commodité que j’ai développé le pricer sur excel. Il permet d’obtenir rapidement et simplement un grand nombre d’informations qui permettent des analyses telles que celle que j’ai menée sur les trois types de sous-jacents. Mon objectif est d’accroître encore plus les fonctionnalités de ce pricer et d’incorporer bientôt le modèle quadratique de Barone- Adesi et Whaley.