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Suites et séries de fonctions Cadre : On va parler de suites et séries de termes généraux où A est une partie d’un evn, et E est un evn. Convergence simple Définition Suite de fonctions : On dit que la suite de fonctions , converge simplement sur A lorsque pour tout , la suite de terme général converge. La fonction g définie sur A par s’appelle limite simple de . Séries de fonctions : On dit que la série de terme général converge simplement sur A lorsque pour tout , la série de terme général converge, c'est-à-dire si la suite des sommes partielles converge simplement sur A. Domaine de convergence simple : Il peut arriver qu’il n’y ait pas convergence simple sur tout le domaine de définition des fonctions (ici A) Dans ce cas, l’ensemble des x en lesquels la série converge s’appelle le domaine de convergence simple. Dans le cadre des séries, le domaine de convergence simple est le domaine de définition de la fonction somme totale. En pratique L’étude de la convergence simple correspond à celle d’une suite ou d’une série avec un paramètre. Exemples sur les séries : Série géométrique : Le domaine de convergence simple complexe de est le disque unité (ouvert) Exponentielle : Le domaine de convergence simple complexe de est C. (D’après le critère de d’Alembert pour  : )  : domaine de définition complexe ? D’après le critère de D’Alembert (pour ), la série converge si , diverge si . Pour  : Cas réel : Pour , la série diverge, pour , elle converge (critère de Leibniz) Cas complexe : (,) On a, pour tout , . Donc : A est l’intégrale d’une fonction continue, donc définie () Et Où , bornée. Ainsi, , donc la série converge et . Calcul : Comme , on a où . Ainsi : Pour , Etude de pour Si , la série converge si et seulement si . Pour  : On pose  ; ainsi, Si , il y a convergence absolue. Si , il y a divergence grossière (la suite ne tend pas vers 0). Si  : On pose Etude de  : On pose Ainsi, la série de terme général converge si et seulement si la suite de terme général converge. Si , , et la série diverge. Si (), où et . Supposons que converge vers . Alors . Donc , soit (car ) Soit réel. On pose Alors Donc , ce qui est impossible. Donc la suite diverge, et donc aussi. Ainsi, a pour domaine de définition Etude de la série de terme général pour et . On a D’après le théorème des accroissements finis appliqué à sur , on a (Car ) Donc , terme général d’une série convergente. Donc la série de terme général converge absolument, donc converge. Ainsi, le domaine de définition de est () Inconvénients de la convergence simple En général, par passage à la limite simple, on perd les propriétés analytiques des fonctions. Exemple : La série de terme général . Pour la série converge. Si , Donc le domaine de convergence est Dans le cas particulier où , on a Et donc , donc la continuité est perdue. Pour , la suite de terme général converge simplement vers qui n’est pas dérivable en 0 alors que les sont de classe . Donc le caractère dérivable peut se perdre par passage à la limite simple. Lien avec les intégrales : Problème : A t’on , ou  ? Réponse : non en général. Il faut des hypothèses supplémentaires, la convergence simple ne suffit pas. Exemple : On pose . Pour quels a-t-on  ? Pour , on a Donc pour tout , Mais pour , Soit Conclusion : Si , on a bien l’égalité. Si , et . Si , En général, on ne peut donc pas intervertir l’intégrale et la limite. Explication : Graphe de pour  : On a un phénomène de bosse glissante : Justification de la convergence simple : En , ok Pour  : au bout d’un certain temps, la bosse est à gauche de x et à partir d’un certain rang, décroît vers 0. Minoration de  : la bosse a une largeur en , une hauteur en n, donc est minorée par une constante. Convergence uniforme des suites et séries de fonctions, convergence normale des séries Définition Suites de fonctions : On dit que la suite de terme général où converge uniformément sur A vers g si elle vérifie : C'est-à-dire si est bornée à partir d’un certain rang et si Montrons l’équivalence : Supposons (1) : pour tout , on peut trouver tel que Pour  : cela montre qu’à partir du rang , est bornée par 1. De plus, pour tout et , est bornée par . Donc , c'est-à-dire (2). Supposons (2) Soit . Il existe alors tel que . Alors, pour tout et tout , Convergence uniforme des séries : Définition : On dit que la série de terme général converge uniformément sur A si la suite des somme partielles converge uniformément sur A. Convergence normale des séries : Définition : On dit que la série de terme général est normalement convergente si pour tout n, est bornée et si la série de réels positifs converge. Illustrations : Soit continue. On pose . converge uniformément sur R si et seulement si f est uniformément continue. où (le domaine de convergence de la série est ) Etude de la convergence normale : On a donc convergence normale si et seulement si c'est-à-dire . A-t-on convergence uniforme ? Pour , il y a convergence normale donc uniforme (car R est complet, vu après) Si  : Posons On veut savoir si Pour , Si , Donc Donc il n’y a pas convergence uniforme. Ainsi, dans ce cas, il y a convergence uniforme si et seulement si il y a convergence normale c'est-à-dire si et seulement si . Cas des fonctions bornées : interprétation topologique On note l’ensemble des fonctions bornées de A dans E, muni de avec . Pour une suite de fonctions bornées  : converge uniformément vers g signifie que converge vers g dans Pour une série de terme général , la convergence uniforme de la série, c’est la convergence de la série d’éléments de l’evn La convergence normale des séries, c’est la convergence absolue dans l’evn . Morale : On a deux langages qui se correspondent : Celui des fonctions : les vus en tant que fonction de A dans E. Celui de vecteurs : les sont des éléments de l’evn Lexique : Une suite bornée de est une suite de fonctions uniformément bornées ; ce sont les suites telles que : C'est-à-dire : Suite convergente de  : suite uniformément convergente de fonctions. Série convergente de  : série uniformément convergente de fonctions. Série absolument convergente de  : série normalement convergente de fonctions. Comparaison des différentes notions de convergence Suites de fonctions : Théorème : Si la suite de fonctions , où , converge uniformément sur A vers , alors converge simplement vers g sur A. Application : Soit , où . On veut étudier la convergence uniforme de . S’il n’y a pas convergence simple sur A, il n’y a pas convergence uniforme. Si converge simplement vers g sur A, converge uniformément sur A si et seulement si est bornée et Démonstration du théorème : Pour , on a Donc si , alors . Cas des séries : Théorème : Pour les séries de fonction, la convergence uniforme entraîne la convergence simple. Si le but E est complet pour , la convergence normale entraîne la convergence uniforme. Démonstration : C’est le théorème précédent appliqué à la suite des sommes partielles. Rappel : si est complet, alors l’est aussi. Soit le terme général d’une série normalement convergente. Alors les sont des éléments de (car par hypothèse, existe et converge) Comme est complet et converge, converge pour la norme , c'est-à-dire converge uniformément. Application : Etude de la convergence uniforme d’une série de fonctions , étant complet. On commence par étudier la convergence normale, c'est-à-dire . Si ne tend pas vers 0, il n’y a pas convergence uniforme (Car si la suite converge uniformément vers g, alors converge aussi uniformément vers g, donc ) Si la série de terme général converge, on a convergence normale, donc uniforme (car E est complet). Si maintenant diverge mais , on a le Théorème : La série de terme général est uniformément convergente si et seulement si elle converge simplement et la suite des restes tend uniformément vers 0. Démonstration : Si il y a convergence uniforme, alors il y a convergence simple. De plus, , donc . Si la série converge simplement vers , alors pour tout et tout , donc Donc converge uniformément sur A vers S. Application : Lorsqu’on est dans ce cas (s’il n’y a pas convergence normale), on étudie la convergence simple : S’il n’y a pas convergence simple, il n’y a pas non plus convergence uniforme. Si il y a convergence simple, on étudie . Remarque : La suite où ne converge pas uniformément vers 0 si et seulement si il existe une suite de A telle que ne tend pas vers 0. En effet, si , alors pour tout , il existe tel que , et donc . S’il existe une suite de A telle que , alors , et donc Critère de Cauchy uniforme d’une application On suppose complet. On dit que la suite de fonctions , où , vérifie le critère de Cauchy uniforme lorsque : Remarque : Pour des fonctions bornées, c’est le critère de Cauchy dans . Théorème : Si est complet, le critère de Cauchy équivaut à la convergence uniforme. (Déjà vu pour les suites, d’après la remarque…) Exemples : Montrer que la série de terme général converge uniformément sur . Déjà, il n’y a pas convergence normale. Méthode 1 : Etude de la convergence simple : Pour , la suite de terme général décroît vers 0, donc la série de terme général converge. Etude de la suite des restes  : Pour , on a Donc Donc la suite de terme général tend uniformément vers 0 sur , donc la série converge uniformément sur . Méthode 2 : on peut vérifier le critère de Cauchy… Soit une suite de réels qui décroît vers 0. On pose . Alors la série de terme général converge uniformément sur tout intervalle où . On va montrer le critère de Cauchy uniforme pour Etude de avec une transformation d’Abel : Posons, pour , Alors Donc est uniformément bornée sur . Ainsi, Vérifions le critère de Cauchy : Pour tout et et  : Soit  ; comme , il existe un rang N pour lequel Alors pour tout , et tout , on a Donc le critère de Cauchy–uniforme est vérifié, et la série est uniformément convergente sur . Dernière remarque En pratique, on n’étudie la convergence uniforme que sur des fermés, d’après le théorème : Soit continue et A une partie de R. Alors Conséquence : Si une suite de fonctions réelles à valeurs dans C, continues, converge uniformément sur A, alors elle converge uniformément sur . En effet : Pour tout , on a Donc le critère de Cauchy–uniforme sur A équivaut au critère de Cauchy–uniforme sur . Propriétés éventuelles des limites et des sommes de séries Interversion des limites Théorème (1) : Soient E et F deux evn, où F est complet ; soit A une partie de E, et une suite de fonctions de A dans F, et un élément de A. On suppose : Que converge uniformément sur A vers Que pour tout , a une limite finie lorsque Alors les quantités suivantes existent et sont égales : , c'est-à-dire : . Démonstration : Convergence de  : Comme F est complet, il suffit de montrer que est de Cauchy. Or, en passant à la limite quand dans , on a Comme la suite est uniformément convergente, elle vérifie le critère de Cauchy–uniforme et donc vérifie le critère de Cauchy dans E. Posons , montrons que , C'est-à-dire que . Soit . Comme converge uniformément vers g, il existe N tel que . Comme , il existe N’ tel que On prend . Ainsi, Donc il existe tel que Pour , on a ainsi Limite diagonale : Soient , g avec . On suppose que les sont continus en , que converge uniformément vers g sur A ; soit de plus une suite de A tendant vers . Alors tend vers . Illustration pour le nom de « diagonale » : Démonstration : g est continue en car limite uniforme de fonctions continues en . Alors Continuité des limites uniformes Théorème (2) : Soit où , A étant une partie d’un evn E, F un evn. On suppose que converge uniformément sur A vers , et que pour tout , est continue en . Alors g est continue en . Corollaire : Si converge uniformément vers g sur A et si pour tout , est continue sur A, alors g est continue sur A. Démonstration : C’est la démonstration du théorème précédent sans l’existence de puisqu’on a supposé qu’elle existe, et donc la complétude de F n’est pas nécessaire. Cas de la variable réelle, limite en . Théorème (3) : Soit A une partie de R non majorée, on pose . Soit F un evn complet, une suite de fonctions convergeant uniformément vers sur A, et on suppose que pour tout , a une limite finie en . Alors les deux quantités suivantes existent et sont égales : Démonstration : Voir théorème (1), analogue… Exemples Pour montrer que la somme d’une série de fonctions est continue, on peut appliquer le théorème (2). Exemple : est définie et continue sur En effet, pour tout , est continue sur . De plus, la série est normalement convergente sur , donc uniformément convergente car C est complet. On peut utiliser le théorème pour montrer qu’il n’y a pas convergence uniforme. Exemple : La série de terme général converge simplement sur mais pas uniformément. En effet, il y a déjà convergence simple (déjà vu) Si il y avait convergence uniforme, la fonction somme serait continue en 0 ce qui est faux. Lemme de Dini (hors programme) Soit A une partie compacte d’un evn E, une suite de fonctions de A dans F où F est un evn. On suppose que : converge simplement vers sur A g est continue sur A Pour tout , décroît vers 0. Alors la convergence est uniforme. Remarque : (1) et (2) ne suffisent pas : Par exemple, converge simplement vers 0 sur lorsque , mais Démonstration du théorème : Soit , considérons Alors est un ouvert de A car sont continus. Les recouvrent A : pour , comme converge vers , il existe N tel que Comme de plus A est compact, il existe tels que De plus, comme décroît, la suite est croissante pour l’inclusion Si on prend , On a , c'est-à-dire On a alors , ce qui correspond à la convergence uniforme. Suites et séries d’intégrales Théorème : Soit un segment de R, F un evn complet. Soit , où les sont continues, convergeant uniformément vers g sur . Alors g est continue, et . Corollaire : C’est la même chose pour les séries. Démonstration : (La complétude est ici nécessaire pour définir l’intégrale d’une fonction continue) Caractère . On se limite ici à des fonctions d’une variable réelle. Théorème : Soit I un intervalle de R, une suite de fonctions de classe où F est un espace de Banach. On suppose que : converge uniformément vers sur I. Il existe tel que converge vers . Alors la suite converge simplement sur I vers la fonction . De plus, la convergence est uniforme sur tout segment inclus dans I. NB : La condition (1) est la convergence uniforme de la suite des dérivées La condition (2) est la convergence simple en au moins un point. Corollaire : Soit une suite de fonctions de classe , (F étant un espace de Banach). Pour que converge simplement sur I vers une fonction de classe , il suffit que la suite converge uniformément et qu’il y ait convergence simple de en au moins un point x. (Et dans ce cas, converge uniformément vers g sur tout segment de I) Démonstration : Pour tout , (pour la dernière inégalité, distinguer , mais on obtient la même chose) D’où la convergence simple. Soit un segment inclus dans I, on note Pour tout , on a alors Donc converge uniformément vers g sur K. Caractère . Théorème : Soit I un intervalle de R, une suite de fonctions où F est un espace de Banach, et On suppose que converge simplement vers g sur I. On suppose de plus que : Pour tout , est de classe . Pour tout , la suite converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers une fonction . Alors g est de classe , et pour tout , tout  : , C'est-à-dire . Corollaire : On a le même énoncé avec les séries (on dit aussi dans ce cas que la fonction somme est dérivable terme à terme) Remarque : La condition (2) n’est pas optimale : Si , on peut la remplacer par converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers et pour tout , converge simplement en au moins un point Démonstration : Pour k fini, on fait par récurrence sur k. Sinon, on utilise le fait que .