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Formules de Taylor
Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de R, et les fonctions sont à valeurs dans R ; n désigne un entier naturel.
Préliminaire
Soient .
Soit .
Alors , et, pour tout :
Et pour
En 0 :
pour
Plus généralement :
Soient , .
Soit
Alors , et, pour tout :
pour .
On a les mêmes dérivées en a qu’en 0 dans le premier cas.
Soit , soit . On suppose que f est n fois dérivable en a.
Soit le polynôme de degré dont les dérivées successives jusqu’à la n-ième en a coïncident avec celles de f, c'est-à-dire, d’après le préliminaire pour les dérivées successives de en a :
Pour tout , on pose .
Ecrire une formule de Taylor pour f à l’ordre n en a, c’est écrire :
.
s’appelle la partie polynomiale, le reste.
Le but du chapitre est de donner des théorèmes à propos du reste.
Inégalité de Taylor–Lagrange
Théorème :
Soit f une fonction de classe sur un segment . Alors :
, avec
.
(La borne sup. est bien définie car est définie et continue sur le segment )
C’est l’inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre n de f entre a et b.
Démonstration :
* Le cas où est trivial.
* Si : on va montrer que pour tout , on a :
où , ce qui établira le résultat en prenant
- Montrons la deuxième inégalité :
Soit
C'est-à-dire
Alors est de classe sur , et :
car .
Donc est décroissante, et . Donc , donc est décroissante, et . Donc… donc est décroissante, et , donc .
Donc
Et, en particulier :
- Pour la deuxième inégalité :
Soit définie par
Alors , et :
car , soit .
Donc est croissante, et . Donc , donc est croissante, et . Donc… donc est croissante, et , donc .
Donc
Donc
- Ainsi, , soit .
* Si :
Etant donné de classe , en posant , on introduit .
Alors g est de classe , et , .
Le théorème, montré dans le cas précédent, pour g entre et donne :
avec .
On a :
Donc
, et :
Cas particulier : l’inégalité entre 0 et x :
Inégalité de Taylor–Lagrange entre 0 et x pour f de classe :
Soit I un intervalle contenant 0.
Soit f de classe sur I.
Alors, pour tout , on peut écrire :
, avec :
Exemple :
La fonction exponentielle étant de classe sur R, on peut écrire cette inégalité à n’importe quel ordre :
, avec
Formule de Taylor–Young
Théorème :
Soit . Soit f une fonction de classe sur un intervalle I contenant a.
Alors il existe une fonction qui tend vers 0 en a telle que :
Formule de Taylor–Young à l’ordre n en a pour f de classe .
Autrement dit, au voisinage de a :
Démonstration :
Soit .
Pour , posons :
On a alors déjà l’égalité. Reste à montrer que .
Pour cela, on applique l’inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre à la fonction entre a et x, où x est un élément quelconque de I.
On a alors :
Mais , d’après le préliminaire.
De plus, .
Ainsi, .
Donc, pour :
Il reste à montrer que
Déjà, est continue sur I et nulle en a.
* Soit .
Comme g est continue en a, il existe tel que .
Alors, pour tel que , on a :
(puisque pour )
Donc
* Autre démonstration :
Pour tout , on a :
La fonction est continue sur le segment . Donc, sur ce segment, elle est bien bornée, et elle atteint ses bornes. Il existe donc tel que .
On a :
car .
Donc , et g est continue en a, donc
D’où .
Dans le cas où :
Le théorème dit :
Si f est continue sur I contenant a : où , ce qui est vrai.
Cas particulier : Taylor–Young à l’ordre n en 0 :
Soit f de classe sur I contenant 0.
Alors .
L’égalité de Taylor–Lagrange (hors programme)
Théorème :
Soit f de classe sur et de classe sur au moins ()
Alors il existe tel que :
.
Démonstration :
Soit définie par :
Où A est une constante de sorte que , c'est-à-dire :
Alors est continue sur , et dérivable sur , et .
Il existe donc tel que .
Or, pour tout :
Soit
Or, et , donc , d’où l’égalité cherchée.
Remarque : de cette égalité, on tire aisément l’inégalité de Taylor–Lagrange.
Récapitulation, formules à connaître
Rappel des trois théorèmes à l’ordre n en 0 :
Théorème (inégalité de Taylor–Lagrange) :
Soit , où I contient 0. Alors, pour tout :
, avec :
Théorème (Taylor–Young) :
Soit , où I contient 0. Alors, au voisinage de 0 :
Théorème (Egalité de Taylor–Lagrange) :
Soit f fois dérivable sur I contenant 0.
Alors, pour tout , il existe tel que :
Formule de Taylor–Young des fonctions usuelles en 0 (de classe sur un intervalle contenant 0) :
(ordre n)
(ordre )
Et même (ordre )
(ordre )
Et même (ordre )
est de classe sur .
Donc
Commentaire :
Le cosinus à l’ordre 2 donne :
Donc
C'est-à-dire
Cas particulier avec :
Autre cas particulier :
(Les termes suivants sont nuls)
Avec
