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Limites de suite.docx
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Uploaded: 7 years ago
Category: Calculus
Type: Other
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Filename: Limites de suite.docx
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Transcript
I. Suites convergentes
1. Suites de limite réelle
Définition
Dire que la suite u converge vers un réel ? signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que la suite est convergente et que ? est sa limite. On note =?.
Exemple
Soit u la suite définie sur ?* par =, établir la convergence de u vers 0.
Soit I= un intervalle ouvert contenant 0 alors a<0 0) ou encore > soit n>.
Ainsi, pour tout entier n>, appartient à I donc u converge vers 0.
Remarque
Si la suite u converge alors sa limite est unique.
Propriété (admise)
=0 =0 =0
2. Opérations sur les suites convergentes
Propriété (admise)
Si u et v sont des suites qui convergent respectivement vers ? et ?? alors :
la suite u+v converge vers ?+?? ;
la suite uv converge vers ??? ;
si de plus pour tout n, ý0 et ??ý0 alors la suite converge vers .
Exemple
Étudier la convergence de la suite u définie sur par =.
Pour n>0, ==.
Or =0 donc par produit -=0 et par somme 1?=1.
De même, =0 donc par produit =0 et par somme 3+=3.
Par quotient, on en déduit que =.
3. Théorème d’encadrement
Théorème des gendarmes
Si à partir d’un certain rang, les suites u, v et w sont telles que ÂÂ et si les suites u et w convergent vers la même limite ? alors la suite v converge aussi vers ?.
Démonstration
Soit I un intervalle ouvert contenant ?, comme les suites u et w convergent vers ? alors :
il existe un entier N tel que pour tout nÃN, ?I
il existe un entier N’ tel que pour tout nÃN’, ?I
Pour tout entier n supérieur à la fois à N et N’, on a ?I et ?I or ÂÂ donc ?I.
On en déduit que la suite v converge vers ?.
Exemple
Étudier la convergence de la suite u définie sur ?* par =.
Pour tout n??*, -1Âcos nÂ1 donc -ÂÂ.
Or =0 et -=0 donc d’après le théorème des gendarmes la suite u converge vers 0.
II. Suites divergentes
1. Définition
Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente.
2. Suites de limite infinie
Exemple
Soit u la suite définie par =.
Pour tout réel A>0, ÃA dés que nÃ.
On dit alors que la suite u a pour limite +õ et on note =+õ.
Définitions
Dire que la suite u a pour limite +õ signifie que tout intervalle contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite u diverge vers +õ et on note =+õ.
Dire que la suite u a pour limite -õ signifie que tout intervalle contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite u diverge vers -õ et on note =-õ.
Propriétés
n=+õ =+õ =+õ
3. Suites qui n’ont pas limite
Exemple
u est la suite définie sur ? par =.
Pour n pair, =1 et pour n impair, =-1 donc la suite u n’a pas de limite infinie
Pour tout réel ?, l’intervalle ne peut pas contenir à la fois -1 et 1 donc il ne contient pas tous les termes de la suite à partir d’un certain rang
La suite u ne peut donc converger vers aucun réel ? : elle n’a pas de limite finie.
Conclusion : la suite u n’a pas de limite.
III. Suites géométriques
1. Limite de la suite ()
Propriété (admise)
Soit q un réel non nul et différent de 1.
Si q>1 alors =+õ ;
Si -1
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