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Fonctions : généralités Voir activité : usine à nombre Qu’est ce qu’une fonction ? Définitions Une fonction f est un processus qui, à un nombre x, fait correspondre un unique nombre noté fxen lui appliquant une suite d’opération. x est appelé la variable et f(x) est la valeur prise par la fonction f pour la valeur x. -100330223520Usine à nombre Matière première : antécédent Produit : image 00Usine à nombre Matière première : antécédent Produit : image On note f:x?f(x) et on lit : « fonction f qui à x associe f(x) ». 1395095266001500 Exemples : Soit f la fonction qui à x associe 3x+15. On note f:x?3x+15. La fonction f est définie par f(x)=3x+15. Soit g la fonction qui à x associe x²-1. On note g:x?x²-1. La fonction g est définie par gx=x2-1. Il existe trois façons de définir une fonction : A l’aide d’une formule (on se trouve dans un cadre algébrique) A l’aide d’un tableau (on se trouve dans un cadre numérique) A l’aide d’un graphique (on se trouve dans un cadre graphique) Courbes représentatives Définition Dans le repère (O, I , J), on appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)), où x parcourt l’ensemble Df. Tableau de valeurs Un tableau de valeurs pour une fonction f montre la correspondance entre les valeurs de la variable x et les valeurs de son image f(x). Déterminer le tableau de valeurs pour une fonction donnée Technique : Remplir le tableau à la main 1. Choisir des valeurs pour x. 2. Calculer les valeurs de f(x) correspondantes. Exemple : Compléter le tableau de valeur de la fonction g définie par : g:x?x²-1. x -4 -2 0 2 4 f(x) Déterminer la représentation graphique d’une fonction Technique : Pour tracer une courbe représentative « à la main » 1. Obtenir un tableau de valeurs de la fonction f 2. Tracer un repère 3. Placer les points issus du tableau de valeurs dans le repère 4. Relier ces points « au mieux » Exemple : Déterminer la représentation graphique de la fonction g définie par : g:x?x²-1 sur [-4 ; 4]. Image d’un nombre par une fonction Définition : Soit f une fonction et a un nombre de l’ensemble de définition de f. Le nombre f(a) est appelé image de a par la fonction f. Exemple : g(0) = -1, on dit que -1 est l’image de 0. g(4) = 15, on dit que 15 est l’image de 4. Calculer l’image d’un nombre a par une fonction f Technique : Valeur exacte dans le cadre algébrique  1. Effectuer son calcul à la main ou à la machine en remplaçant x par la valeur souhaitée. 2. Donner la valeur exacte de f(a) Valeur exacte dans le cadre numérique 1. Repérer, dans un tableau de valeurs, la colonne dans laquelle se trouve la valeur a (normalement 1er ligne). 2. Lire la valeur de la seconde cellule de la colonne qui correspond. Approximation dans le cadre graphique 1. Placer le nombre a sur l’axe des abscisses (point de coordonnées (a; 0)) 2. Tracer la droite passant par le point de coordonnées (a; 0) et parallèle à l’axe des ordonnées 3. Marquer le point de la courbe C d’abscisse a (point d’intersection de la courbe et de la droite) 4. Tracer la parallèle à l’axe des abscisses passant par le point précédemment trouvé. 5. La droite coupe l’axe des ordonnées en un point. C’est l’image de a par f par lecture graphique (elle peut être approximative) Exemples : 1) Calculer les images des nombres -43 et 13 par la fonction g : x? x² - 1. 2) Déterminer graphiquement l’image du nombre 13 par la fonction g. Antécédent d’un nombre par une fonction Définition : Soit f une fonction et k un nombre réel. Si a est un nombre réel dans l’ensemble de définition de f tel que f(a) = k, on dit que a est un antécédent de k par la fonction f. Exemple : f(2) = 4, on dit que 2 est un antécédent de 4. Déterminer le ou les antécédents d’un nombre réel k par la fonction f Technique : Valeur exacte dans un cadre algébrique L’objectif est de trouver un ou plusieurs nombres x tels que f(x) = k. On peut donc reformuler ce type de tâche sous une autre forme bien plus connue et pour lequel on dispose de quelques techniques efficaces : « Résoudre (algébriquement) l’équation f(x) = k » Valeur exacte dans le cadre numérique 1. Repérer, dans un tableau de valeurs, la colonne dans laquelle se trouve la valeur k (normalement 2ème ligne). 2. Lire la valeur de la seconde cellule de la colonne qui correspond. Approximation dans le cadre graphique 1. Placer le nombre k sur l’axe des ordonnées (point de coordonnées (0; k)) 2. Tracer la droite passant par le point de coordonnées (0; k) et parallèle à l’axe des abscisses 3. Si cette droite ne coupe pas la courbe C, k n’a pas d’antécédent par f 4. Sinon, marquer les points d’intersection 5. Les abscisses de ces points sont les antécédents de k par la fonction f (elles peuvent être approximatives) Exemples : 1) Calculer l’antécédent du nombre 30 par la fonction f : x ? 3x + 15 2) Déterminer graphiquement une valeur approchée des antécédents du nombre 2 par la fonction g. Remarque : Par une fonction, un nombre admet une image unique mais un nombre donné peut admettre plusieurs antécédents.