Fonctions derives.docx

I. Fonction dérivée 1. Fonction dérivable sur un intervalle Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable pour tout x de I alors f est dérivable sur I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé f?(x) de f en x est appelée fonction dérivée de f et elle est notée f?. Exemple Soit f  la fonction définie sur par f(x)=. Soit a un réel quelconque, pour tout hý0, ====2a+h.  =2a donc f est dérivable en a et f (a)=2a. On en déduit que la fonction carré est dérivable sur ? et sa fonction dérivée est la fonction f définie par f(x)=2x. 2. Dérivées usuelles f est définie par f est dérivable sur f ? est définie par f (x)=k sur (fonction constante) f ?(x)=0 f(x)=x sur ? f ?(x)=1 f(x)= sur ? f ?(x)=2x f(x)= sur ? f ?(x)= f(x)=, n?*, sur f ?(x)= f(x)= sur ? et f ?(x)= f(x)= sur ]0 ; +[ f ?(x)= f(x)=cos(x) sur ? f ?(x)=-sin(x) f(x)=sin(x) sur ? f ?(x)=cos(x) Exemple 1 f(x)= : calculer f(-2). f est dérivable sur et f?(x)= donc f(-2)=5×=80. Exemple 2 f(x)= : calculer f(-2). f est dérivable sur et f(x)= donc f(-2)=. II. Dérivées et opérations u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. 1. Somme de fonctions Propriété La fonction u+v est dérivable sur I et (u+v)?=u?+v? Démonstration Pour tous réels a et a+h de I avec hý0 : ==+, ce qui tend vers u?(a)+v?(a) lorsque h tend vers 0. Exemple Soit f(x)=+ sur . f=u+v avec u(x)= et v(x)=. La fonction u est dérivable sur et la fonction v est dérivable sur donc f est dérivable sur et f=u?+v? avec u?(x)=2x et v?(x)= donc f(x)=2x+. 2. Produit de fonctions Propriété La fonction uv est dérivable sur I et (uv)?=u?v+uv? Justification Pour tous réels a et a+h de I avec hý0 : ==+ =v(a+h)+u(a). u est dérivable en a donc  =u?(a) v est dérivable en a donc  =v?(a) et v(a+h)= (v?(a)h+v(a))=v(a). Ainsi =u?(a)v(a)+u(a)v?(a) donc uv est dérivable en a et (uv)?(a)=u?(a)v(a)+u(a)v?(a) Exemple Soit f la fonction définie sur par f(x)=cos(x). On a f=uv avec u(x)= et v(x)=cos(x). Les fonctions u et v sont dérivables sur donc f est dérivable sur et f (x)=u?(x)v(x)+u(x)v?(x). u?(x)=2x et v?(x)=-sin(x) donc f (x)=2xcos(x)+×(-sin(x))=2xcos(x)?sin(x). Conséquences Pour tout réel ?, la fonction ?u est dérivable sur I et (?u)?=?u?. Toute fonction polynôme est dérivable sur . Exemples Soit f la fonction définie sur par f(x)=3sin(x) alors f=3u avec u(x)=sin(x). La fonction u est dérivable sur donc f est dérivable sur et f=3u? avec u?(x)=cos(x) donc f(x)=3cos(x). Soit f définie sur par f(x)=-+?5x+1. f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur et f ?(x)=-2×+2x?5×1+0=-+2x?5 3. Inverse d’une fonction Propriété Si pour tout réel x de I, v(x)ý0 alors la fonction est dérivable sur I et =. Justification Pour tous réels a et a+h de I avec hý0 : ==×==-×. v est dérivable en a donc  =v?(a) et v(a+h)= (v?(a)h+v(a))=v(a). Ainsi  = –v?(a)× donc la fonction est dérivable en a et (a)=. Exemple Soit f la fonction définie sur par f(x)= alors f= avec v(x)=1?x. La fonction v est dérivable sur ]1 ;+õ[ et pour tout x>1, v(x)ý0 donc f est dérivable sur et f?(x)=. v?(x)=-1 donc f(x)= 4. Quotient de fonctions Propriété Si pour tout réel x de I, v(x)ý0 alors la fonction est dérivable sur I et =. En effet, ==u?×+u×=+u×= Conséquence Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de définition. Exemple Soit f définie sur ?{3} par f(x)=, f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur et sur . f= avec u(x)=?1 et v(x)=x?3 f(x)= avec u?(x)=2x et v?(x)=1 donc f(x)= =. 5. Fonction x u(ax+b) Propriété (admise) Soient a et b deux réels, aý0, on appelle J l’intervalle des réels x tels que ax+b appartient à I. La fonction f définie par f(x)=u(ax+b) est dérivable sur J et f ?(x)=au?(ax+b). Exemple Soit f définie sur par f(x)= alors f(x)=u(3x?6) avec u(X)=. La fonction u est dérivable sur I=. Déterminons l’ensemble des réels x tels que 3x?6?I: 3x?6 ? I équivaut à 3x?6>0, c’est-à-dire x>2 ou encore x? donc J=. Ainsi f est dérivable sur et f (x)=3u?(3x?6) u?(X)= donc f (x)=3×=. III. Signe de la dérivée et sens de variation Propriété Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est croissante sur I alors pour tout x de I, f ?(x)Ã0 . Si f est décroissante sur I alors pour tout x de I, f ?(x)Â0. Justification Si f est croissante sur I alors pour tout a?I et pour tout hý0 tel que a+h?I : Si h>0 alors a+h>a donc f(a+h)Ãf(a) ou encore f(a+h)?f(a)Ã0 ; Si h<0 alors a+h 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b) - pour tout x > 0 II) Propriétés ln(1) = 0 ln (a²) = ln