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FONCTIONS DE REFERENCE Problème : Découvrir de nouvelles fonctions de référence. I) Fonction carré 1) Carré d’un nombre Définition Tout nombre réel a un carré. La fonction carré est la fonction définie sur par . Exemples 3 et ont la même image par . 2) Sens de variation Propriété La fonction f : x x² est croissante sur [0; +[ La fonction f : x x² est décroissante sur ]- ; 0] Démonstration Soit a et b positifs tels que a < b Si on multiplie par a positif : a² < ab. Et si on multiplie par b positif : ab < b². donc : a² < ab < b² Donc f est croissante sur ]0; +[ Soit a et b négatifs tels que a < b Si on multiplie par a négatif : a² > ab. Et si on multiplie par b négatif : ab > b². donc : a² > ab > b² Donc f est décroissante sur ]- ; 0[ 15271756985x x² -? +? 0 0 +? +? 00x x² -? +? 0 0 +? +? donc D’après le tableau de variation, la courbe représentative de la fonction f : x x² admet pour minimum 0 quand x vaut 0. 3) Représentation graphique Pour tout x, f(-x) = (-x)² = x² = f(x), ce qui signifie qu’un nombre et son opposé ont toujours la même image. Graphiquement, cela signifie que pour toute valeur de x, les points de la courbe M(x ; f(x)) et M’(-x ; f(-x)) ont la même ordonnée, et sont donc symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Définition Cette courbe s’appelle une parabole. L’accroissement de la fonction carré n’est pas linéaire, donc la fonction carré n’est pas affine. II) Fonction inverse 1) Inverse d’un nombre Définition Tout nombre réel non nul a un inverse. On appelle fonction inverse la fonction f : x définie sur . Exemples L’image de 2 par f est , celle de est , celle de est 4. 2) Sens de variation Propriété La fonction f : x est décroissante sur ]0; +[ La fonction f : x est décroissante sur ]- ; 0[ Démonstration Soit a et b non nuls tels que a < b Pour comparer f(a) et f(b), on va étudier le signe de f(b) – f(a) : f(b) – f(a) = – = – = Si a et b sont strictement positifs avec a < b : a – b < 0 ab > 0 (produit de deux positifs donc positif) donc f(b) – f(a)<0 donc f est décroissante sur ]0; +[ Si a et b sont strictement négatifs avec a < b : a – b < 0 ab > 0 (produit de deux négatifs donc positif) donc f(b) – f(a)<0 donc f est décroissante sur ]- ; 0[ 160147083820x 1/x -? 0 0 -? +? +? 0 00x 1/x -? 0 0 -? +? +? 0 Donc 3) Représentation graphique Pour tout x, f(-x) = = - = -f(x), ce qui signifie qu’un nombre et son opposé ont des images opposées. Graphiquement, cela signifie que pour toute valeur de x, les points de la courbe M(x ; f(x)) et M’(-x ; f(-x)) ont une ordonnée opposée, et sont donc symétriques par rapport à l’origine. Cette courbe s’appelle une hyperbole. L’accroissement de la fonction inverse n’est pas linéaire, donc la fonction inverse n’est pas affine. III) La fonction racine carrée 1) Racine carrée d’un nombre Définition Tout nombre réel positif a une racine carrée. On appelle fonction racine carrée la fonction f : x définie sur . Exemples 2) Sens de variation Propriété La fonction est croissante sur . Démonstration a et b désignent deux nombres réels positifs tels que . Les deux nombres positifs et sont rangés dans le même ordre que leurs carrés et . Or , donc , c'est-à-dire 1584960162560x 0 0 +? +? 00x 0 0 +? +? Donc 3) Représentation graphique Dans un repère orthogonal, C désigne la courbe représentative de la fonction racine carrée. 1254760165100O i ? j ? 00O i ? j ? 221234019050C 00C Propriété Dans un repère orthonormé, la courbe représentative C de la fonction racine carrée et la courbe représentative P de la fonction carré sur sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. IV) La fonction cube 1) Cube d’un nombre Définition Tout nombre réel a un cube. La fonction cube est la fonction définie sur par . Exemples 3 et ont des images opposés par . 2) Sens de variation Propriété La fonction est croissante sur . 173355041910x X3 -? -? +? +? 00x X3 -? -? +? +? 3) Représentation graphique Dans un repère orthogonal, C désigne la courbe représentative de la fonction cube. 343408067310C 00C Propriété Dans un repère orthonormé, la courbe représentative C de la fonction cube est symétrique par rapport à O.